第二章单纯形法 有唯一解(，，，9)T,令其余的变量取值为0，则得到AX=b的一个解，称此解 为线性规划问题(1.1(1.3)的基本解矩阵B=[凸，B,,Pm]称为基本解xo)对应的 基本矩阵，简称基矩阵.1,2，，工m称为基 变量，其它变量称为非基变量.基变量组成的集合称为基若基本解XO)满足 Xo≥0，则称这个解为基本可行解若基本可行解中非零分量的个数小于约束条件方程 的个数m,则称此向题是退化的.如非特别说明，本书中讨论的问题均为非退化的 二、凸集及凸集中的顶点 定义2.11设K是n维欧氏空间中的一点集，若任意两点X1,X2∈K的连线上的任意 一点aX1+(1-a)X2∈K,其中0≤a≤1，则称K为凸集 (a) 图2-1 图2-1中的(a),b为凸集，(c),(d不是凸集 义2.1.2设K为凸集，X∈K.若X不能用不同的两点X1,X2∈K的线性组合表示 为 X=aX1+(1-a)X2 0<a<1 则称X为K的一个极点或顶点 极点X的直观意义是X不是K中任何线段的内点.如图2-1(，（⑥中正方型和四 面体的顶点就是凸集的极点 三、基本定理 定理2.1.1若约来条件为1.2)，(13)的线性规划问题的可行解的集合D={XAX= 6,X≥0}非空，则D是凸集 证明根据凸集的定义，只要证明任意两点X1,X2∈D,都有X-aX1+(1-a)X2∈ D,0≤a≤1，即有 A(aX1+(1-a)X2)=b (2.4) aX1+(1-a)X2≥0 (2.5) 因为X1,X2∈D,故有 AX1-b.X1≥0 4Xo=b.X2>0 从而有 A(aX1+(1-a)X2)=aAX1+(1-a)AX2 ab+(1-a)=b 即X=aX+(1-a)X满足条件(1.4).因为0≤a≤12 ò✡ó✡ôöõ✡÷✡ø❤ù ▼❈ú❈✖❈❏ (x (0) 1 , x (0) 2 , . . . , x (0) m ) T , à❈✾❈û❈✕❈❝❈❞❈ü❈ý❈❉ 0, ➓❈✼❈♠ AX = b ✕❈✖❈✗❈❏❈ï ➱❈þ❏ ❉✡✌✡✍✡✎✡✏✡❑✡▲ (1.1)-(1.3) ✕ ×✡Ø➳. Û✡Ü B = [P1, P2, . . . , Pm] ➱❉✡ÿ✡➼✡❏ X(0) â✡✫✡✕ ×✡Ø✁￾✁✂, ✄➱ ×✁￾✁✂. x1, x2, . . . , xm ➱❉ × ☎✝✆, ✾✝✞❝❞➱❉✠✟×✝☎✝✆. ÿ❝❞è❨✕✃❐➱❉ × . ➑ÿ➼❏ X(0) ➴➷ X(0) ≥ 0, ➓➱↔✡✗✡❏✡❉ ×✡Ø➬✡➮➳. ➑✡ÿ✡➼✡❳✡➌✡❏❤✹☛✡✁☞✡✤✡❞✡✕✡✗✡Õ✁✌✁✍✡❪✡❫❴✡❵✡Þ✡ß ✕✡✗✡Õ m, ➓➱✡þ❑✡▲✡✑✏✎✁✑ ✕. ✟ ✡✡➽✡➾✡➈❤➉, ➼✁✒❤✹❥➥✡✧✡✕✡❑✡▲✡➶✡❉✁✡✁✓✡✶✡✕. ✔ ✪✖✕✁✗✁✘✁✕✁✗✁✙✡➲✁✚✁✛ ✜✁✢ 2.1.1 ✣ K ✤ n ✥✧✦✁★✁✩✁✪✁✫☛✬✁✭✁✮✁✯, ✰✁✱✁✲✁✳✁✮ X1,X2 ∈ K ✬✁✴✁✵✁✶✁✬✁✱✁✲ ✭✁✮ αX1 + (1 − α)X2 ∈ K, ✷✧✫ 0 ≤ α ≤ 1, ✸✁✹ K ✺✻✕✁✗. (a) (b) ➄ 2–1 ➄ 2–1 ✹❥✕ (a),(b) ❉✧✼❥✃,(c),(d) ❄✡✑✧✼❥✃. ✜✁✢ 2.1.2 ✣ K ✺✧✽☛✯, X ∈ K. ✰ X ✾✁✿✁❀✁✾✧❁☛✬✁✳✁✮ X1, X2 ∈ K ✬✁✵✁❂✁❃✁❄✁❅✁❆ ✺ X = αX1 + (1 − α)X2, 0 < α < 1 ✸✁✹ X ✺ K ✬✁✭✁❇✻❈✁✛✻❉✻✚✁✛. é✡➣ X ✕✡➅✡➆✡➏✡➐✡✑ X ❄✡✑ K ✹☛❊✡➎✡✌✁❋✡✕✧●❥➣. ✟ ➄ 2–1(a),(b) ✹☛❍Þ ➪✡✮✁■ ❏✁❑✕✡→✡➣✁▲✡✑✧✼❥✃✡✕✡é✡➣. ▼ ✪ ×✡Ø✜✁◆ ✜✁◆ 2.1.1 ✰P❖❘◗✝❙✝❚✝✺ (1.2),(1.3) ✬✝✵✝❂✝❯✝❱P❲❘❳✝✬✝❨✝❩✝❬✝✬✝✯✝❄ D = {X|AX = b, X ≥ 0} ❭✁✩❥ï✖✸ D ✤✧✽☛✯. ❪❴❫: ❵❴❛❜✼ç✃❈✕❈➔❈➐, ❝❈✣❴❞î➉❡❊❈➏❈➋❈➣ X1, X2 ∈ D, ❢❈▼ X = αX1 + (1 − α)X2 ∈ D, 0 ≤ α ≤ 1, ❣✡▼ A(αX1 + (1 − α)X2) = b (2.4) αX1 + (1 − α)X2 ≥ 0 (2.5) ❤❉ X1, X2 ∈ D, ✐✡▼ AX1 = b, X1 ≥ 0 AX2 = b, X2 ≥ 0 ★✡❡✡▼ A(αX1 + (1 − α)X2) = αAX1 + (1 − α)AX2 = αb + (1 − α)b = b ❣ X = αX1 + (1 − α)X2 ➴✡➷✡❴✡❵ (1.4). ❤❉ 0 ≤ α ≤ 1