第17讲共轭算子与紧算子 教学目的 掌握共轭算子与紧算子的概念和基本性质 授课要点 1共轭算子的生成以及与原算子的对偶性 2紧算子的属性及常见紧算子的例。 赋范空间有共轭空间,同样地有界算子有共轭算子.让我们先看下面定义 定义1设X,y是线性赋范空间,X,Y分别是X与Y的共轭空间 T∈B(X,).若线性算子T:F→X满足 (Ty)(x)=y(Tx), VxeX', Vyer 则称T”是T的共轭算子 有时我们记f(x)=(x,f),则上式可以写成 y y 定理1设X,y是线性赋范空间,T∈B(X,Y),则 (1)T存在并且惟 )r|=r‖ 证明1°对于每个声*∈F,记l(x)=(Txy),/是X上的线性泛函,并且 1(x)=(Tx, y)=lv 7- ll'll I l,vex 所以 sp|r‖ 这说明l∈X.显然l与y有关,记为T"y,则T”是Y→X”的算子.由定义知道 (x,ry)=1(x)=(x,y),x∈x,y∈r 直接验证可知T是线性算子.上式表明T”是T的共轭算子第 17 讲 共轭算子与紧算子 教学目的 掌握共轭算子与紧算子的概念和基本性质。 授课要点 1 共轭算子的生成以及与原算子的对偶性。 2 紧算子的属性及常见紧算子的例。 赋范空间有共轭空间，同样地有界算子有共轭算子. 让我们先看下面定义. 定 义 1 设 X ,Y 是线性赋范空间， X ,Y∗ ∗ 分别是 X 与 Y 的 共 轭 空 间 ， T ∈B( ) X ,Y ．若线性算子TY X : ∗∗ ∗ → 满足 ( ) T y x y Tx ( ) () ∗∗ ∗ = ， x X ∗ ∀ ∈ ， y Y∗ ∀ ∈ 则称T∗ 是T 的共轭算子. 有时我们记 f () ( ) x xf = , ，则上式可以写成 ( ) Tx y x T y , , ( ) ∗ ∗∗ = ． (1) 定理 1 设 X ,Y 是线性赋范空间，T ∈B( X Y, ) ，则 (1) T∗ 存在并且惟一, (2) T T ∗ = ． 证 明 1° 对于每个 y Y * ∗ ∈ ，记l x Tx y ( ) ( , ) ∗ = ，l 是 X 上的线性泛函，并且 l x Tx y y Tx ( ) ( ) , ∗ ∗ = ≤ y Tx ∗ ≤ ，∀x∈ X 所以 l yT ∗ ≤ ， ( ) 3 这说明l X ∗ ∈ . 显然l 与 y∗ 有关，记为T y∗ ∗ ，则T∗ 是Y X ∗ → ∗ 的算子. 由定义知道 ( x, , T y l x Tx y ) ( ) ( ) ∗∗ ∗ = = ，∀x X ∈ ， y Y ∗ ∗ ∈ 直接验证可知T∗ 是线性算子. 上式表明T∗ 是T 的共轭算子