七章留数定理及其应用 第5页 72有理三角函数的积分 有理三角函数的积分的形式是 R(sin 8, cos 0)d8, 其中R是sin,cos6的有理函数,在积分区间上是连续的.作变换z=e0,则 相应的积分路径则变为z平面上的单位圆的圆周|2=1.于是, 1 -R z|<1 有理三角函数R(sin,cos)在积分区间0,2上连续就保证了有理函数h(22-12+1 在单位圆的圆周上无奇点 例74计算积分I 1+EcoS 86, El<1 解仿照上面的方法步骤,我们有 1+EcoS 6 11+g 22+1 iz dz |=1E22+22+Ei E22+22+E -|<1 z=(-1+√1-z)/ 这里在计算留数时,要注意函数2/(2+2z+)有两个极点 但由于它们的乘积为1,所以不难判断,一定只有一个极点,z=(-1+Ⅵ1-2)/,处于单位圆 内￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 5 ☞ §7.2 ✲✛✳✴✵✙✶✷✸ ✺ ♠➾✹❃❄★✦✭★✺q➌ I = Z 2π 0 R(sin θ, cos θ)dθ, ➳ ❊ R ➌ sin θ, cos θ ★ ✺ ♠❃❄❂❅✦✭ ✦✻ ■➌❋●★✷❛✼✽ z = eiθ ❂❑ sin θ = z 2 − 1 2iz , cos θ = z 2 + 1 2z , dθ = dz iz , ✾✿★✦✭❀❁❑✼✫ z ❂❃■★✲❄ ❅★ ❅❐ |z| = 1 ✷◗➌❂ I = I |z|=1 R  z 2 − 1 2iz , z 2 + 1 2z  dz iz = 2π X |z|<1 res  1 z R  z 2 − 1 2iz , z 2 + 1 2z  . ✺ ♠➾✹❃❄ R(sin θ, cos θ) ❅✦✭ ✦✻ [0, 2π] ■❋●❂r❆❇❈✺ ♠❃❄ R  z 2 − 1 2iz , z 2 + 1 2z  ❅✲❄ ❅★ ❅❐■❰✿❀✷ ➸ 7.4 ↔↕✦✭ I = Z 2π 0 1 1 + ε cos θ dθ, |ε| < 1 ✷ ➺ ❉❊■❃★✃❋●❍❂■❏✺ I = Z 2π 0 1 1 + ε cos θ dθ = I |z|=1 1 1 + ε z 2 + 1 2z dz iz = I |z|=1 2 εz2 + 2z + ε dz i = 2π X |z|<1 res  2 εz2 + 2z + ε  = 2π · 2 2εz + 2     z=(−1+√ 1−ε 2)/ε = 2π √ 1 − ε 2 . ➼➘❅ ↔↕ ◆❄♦❂✪❑▲❃❄ 2/(εz2 + 2z + ε) ✺ ➤ ✼ ➎ ❀ ❂ z = −1 ± √ 1 − ε 2 ε , ▼ ◆◗❖❏★➢✦✫ 1 ❂ ➦ ➓❡❖P◗❂✬❧✩✺ ✬ ✼ ➎ ❀ ❂ z = (−1 + √ 1 − ε 2)/ε ❂▼◗✲❄ ❅ ❆✷