δ:∑(P2qn-P2Q)+0=6F 注意:t=0 d. dy (P2qn-PQ)=元(F) (3) dt i用d去除(2)式,∑(P2-PQ)+(H-H)= 6:6(m4-(Q+6-8H=F (4) 在=0(等时变分)的条件下,6和d可交换次序:6(4)=d(oq):6和也可交 换次序:F=F1比较(3)和(4)得 5)n)ar(2),)am 左边=∑(Q+280)∑0+B0 aH SP+--50 ai(6+OH Qa同理 aH OH 右边 P Pa 4 由于H是Pa2qn的 Hamilton函数,所以右边=0,从而左边=0,且由于8P,9是独 立的。所以有 aH P=0,p+如=0,这正是正则方程,因此(1)是正则变换。 O 说明: 1)条件(2)的意义是:对于变换(1)和原来的哈密顿函数H,存在新的哈密顿函数H, 使(2)式的左边成为全微分。新的哈密顿函数H是待定的:因此,条件(2)的核心是 在t不变的情况下,∑[p2dn-Pdo]要成为恰当微分,也就是说,条件(2)可以表 为∑(P206qn-PoQ)=6F(t作为参数)(2)6 i.  ： ( ) 1 1 0 s p q P Q F         =  − + = 注意： t = 0 dt d ： ( ) ( 1 ) 1 s d d p q P Q F dt dt         =  − = （3） ii. 用 dt 去除（2）式， ( ) ( ) * 1 1 s p q P Q H H F     =  − + − =  ： * 1 1 1 s s p q P Q H H F            = =     − + − =           （4） 在 t = 0 （等时变分）的条件下，和 d 可交换次序：   (dq d q ) = ( ) ；和 dt d 也可交 换次序： 1 1 d F F dt   = 比较（3）和（4）得 * 1 1 1 1 s s s s d d P Q P Q H p q p q H dt dt                   = = = =         − − = − −                     左边 ( ) * * 1 1 1 s s s d H H Q P P Q P Q P Q P Q dt P Q                      = = =       = + − + − +              * * 1 1 s s H H Q P P Q P Q           = =       = − − +             同理 右边 1 1 s s H H q p p q p q           = =       = − − +             由于 H 是 p q,   的 Hamilton 函数，所以右边＝0，从而左边＝0，且由于 P Q ,     是独 立的。所以有 0 * =   − P H Qa  ， * 0 H P Q    + =  ，这正是正则方程，因此（1）是正则变换。 说明： 1）条件（2）的意义是：对于变换（1）和原来的哈密顿函数 H ，存在新的哈密顿函数 * H ， 使（2）式的左边成为全微分。新的哈密顿函数 * H 是待定的；因此，条件（2）的核心是： 在 t 不变的情况下，   1 s p dq P dQ     =  − 要成为恰当微分，也就是说，条件（2）可以表 为 ( ) 1 1 s p q P Q F         =  − = （t 作为参数） （2 ）