第十九讲球数( 第7页 对于一般的v值,P(x)在x=-1点发散 ★只要P(x)是无穷级数,它就不可能在x=-1点有界 ★要使得本征值问题有(非零)解,必须要求P,(x)不是无穷级数,即截断为多项式 从P(x)的具体形式看,这只能发生在v为非负整数时,所以,本征值问题的解就是 本征值 A=l(+1),l=0,1,2,3, 本征函数 n(x)=P1(x) Pl(x)是一个l次多项式,称为l次 Legendre多项式 Pi(a) 6(m)2 容易得到 Legendre多项式在x=1点的数值: 1(1)=1 Legendre多项式是作为本征值问題的解出现的,是作为 Legendre方程在有界条件下的 本征函数出现的 列出最低的几个 Legendre多项式的表达式 P1(x) P2(x)=7(3x2-1) P 5x3-3 4(x)=3(35x2-30x2+3) 它们的图形见图191Wu Chong-shi ➬➮➱✃ ❐ ❒ ❮ (❰) ❇ 7 ❈ F ➾➚➯➋❝ ν Ü ✕ Pν(x) ⑤ x = −1 ♠ ×Ø❂ F ❭ ▼ Pν(x) ❞ ➌➓ ❿➀✕➏ê➳①②⑤ x = −1 ♠✐✼ý F ▼➌ ➣t✉Ü✥✦✐ (➔→) ④✕❡❢▼➇ Pν(x) ➳❞➌➓ ❿➀✕➣↔↕❷Ûñ➞❂ ➵ Pν(x) ❝➺➻➼➞➽✕❛❭ ② ×➙⑤ ν ❷ ➔➛❦ ➀➴❂ß ❶✕t✉Ü✥✦❝④ê❞ t✉Ü λl = l(l + 1), l = 0, 1, 2, 3, · · · , t✉Ý ➀ yl(x) = Pl(x). Pl(x) ❞➯❦ l û Û ñ➞✕ú❷ l û Legendre Û ñ➞✕ Pl(x) = X l n=0 1 (n!)2 (l + n)! (l − n)!  x − 1 2 n . ◗❘➣↔ Legendre Û ñ➞⑤ x = 1 ♠ ❝➀Ü❲ Pl(1) = 1. Legendre ✍➜▲✡★ ☛ ✱➝✎ ➞➟✣✸ ■➠✣ ✕✡★ ☛ Legendre ✠✡☛✑➡➢➤✏✣ ✱➝✂✄ ■➠✣❂ ➥➈➦➧❝➨ ❦ Legendre Û ñ➞❝➜➝➞❲ P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = 1 2 ￾ 3x 2 − 1
, P3(x) = 1 2 ￾ 5x 3 − 3x
, P4(x) = 1 8 ￾ 35x 4 − 30x 2 + 3
. ➏➐❝➩➼➫➩ 19.1 ❂