第七部分无穷级数第1页共20页 第七部分无穷级数 [填空题] 1.数项级数∑ 1)2n+1的和为 2.数项级数 的和为cosl m=6(2n) 注:求数项级数的和常用的有两种方法,一种是用和的定义,求部分和极限;另一种是 将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况,求函数项级数的和函数在此点的 值 3.设an>0,P>1且ln(n(en-1)an)=1,若级数∑an收敛,则p的取值范围是 (2,+∞)。 分析:因为在n→>∞时,(e"-1)与一是等价无穷小量,所以由m(n(en-1)an)=1 n→, 可知,当n→时,a与是等价无穷小量由因为级数∑,收敛,故∑ 因此p>2。 4.幂级数∑an(x-1)2在处x=2条件收敛,则其收敛域为[0.2 分析:根据收敛半径的定义,x=2是收敛区间的端点,所以收敛半径为1。由因为在 x=0时,级数∑a(x-1)2=∑an条件收敛,因此应填[02]。 5.幂级数∑ 如2”+(-x2的收敛半径为√3。 分析:因为幂级数缺奇次方项,不能直接用收敛半径的计算公式。因 2+(-3))+2m3 n+1 3)”_1 所以,根据比值判敛法,当<√3时,原级数绝对收敛,当冈>√3时,原级数发散。由第七部分 无穷级数 第 1 页 共 20 页 1 第七部分 无穷级数 [填空题] 1．数项级数   =1 (2 −1)(2 +1) 1 n n n 的和为 2 1 。 2．数项级数   = − 0 (2 )! ( 1) n n n 的和为 cos1 。 注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分和极限；另一种是 将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的 值。 3．设 0, 1, lim ( ( 1) ) 1 1   − = → n p n n an p 且 n e a ，若级数   n=1 n a 收敛，则 p 的取值范围是 (2,+)。 分析：因为在 n → 时， ( 1) 1 − n e 与 n 1 是等价无穷小量，所以由 lim ( ( 1) ) 1 1 − = → n p n n n e a 可知，当 n → 时， n a 与 1 1 p− n 是等价无穷小量。由因为级数   n=1 n a 收敛，故   = − 1 1 1 n p n 收敛， 因此 p  2。 4．幂级数   = − 0 2 ( 1) n n n a x 在处 x = 2 条件收敛，则其收敛域为 [0,2]。 分析：根据收敛半径的定义， x = 2 是收敛区间的端点，所以收敛半径为 1 。由因为在 x = 0 时，级数    =  = − = 0 0 2 ( 1) n n n n an x a 条件收敛，因此应填 [0,2]。 5．幂级数   =1 + − 2 n 2 ( 3) n n n x n 的收敛半径为 3 。 分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因为 2 2 2( 1) 1 1 3 2 ( 3) 1 2 ( 3) 1 lim x nx x n n n n n n n n = + − + − + + + + → ， 所以，根据比值判敛法，当 x  3 时，原级数绝对收敛，当 x  3 时，原级数发散。由