xnl≤|ah 取M=max{1+|alx1x2l…xnB>0, 则|xn|≤Mn=1,2 推论1若{xn}无界则{n}发散 定理3(保号性):若lmxn=a(a>0),则彐N当n>N时,有xn≥>0 证明:由lmxn=a>0,取E0=>0,彐N n→ 当n>N + 推论2:设lnxn=a (1)若a<0,彐N,当n>N时,有x<一<0 (2)若a≠0,3N,当n>N时,有|xnk 定理1的证明 (xn +yn)=a+b 定理4:若{xn}是无穷小量,{yn}是有界数列,则{xn+yn}是无穷小量。 don +an h=l Ex. 12. lim bn+b +b 0,h<l 定理5(保序性):若lmxn=a,imyn=a,彐N,当nN时,xn=y Th6.(极限不等式) Ⅶn∈Nxn≤y,且im b则a<b Th7.(夹迫性 x.≤V.≤ lima－1< n x < a +1 | n x |≤| a |+1 取 M=max{1+| a |,| 1 x |,| 2 x |,…, | n x |}>0, 则 | n x |≤M, n=1,2,… 推论 1.若 xn  无界,则 xn  发散. 定理 3（保号性）：若 lim = (  0) → xn a a n ,则  N,当 n>N 时,有 0 2   n xn 。 证明：由 lim =  0 → xn a n ，取 0 2 0 =  a  ， N 当 n>N 时， | n x － a |< 2 a n x > a - 2 a = 2 a >0 0 a − a a + 推论 2：设 xn a n = → lim ， （1） 若 a  0,  N，当 n>N 时，有 0 2   a xn ； （2） 若 a  0,  N，当 n>N 时，有 0 2 | | | |  a xn 。 定理 1 的证明： 1． xn yn a b n + = + → lim ( ) 。 定理 4：若{ n x }是无穷小量，{ n y }是有界数列，则{ n x ＋ n y }是无穷小量。 Ex.11. 0 1 lim = → n n s n 。 Ex.12.       = = + + + + − − → h l h l b a b n b n b a n a n a l l l h h h n 0, , lim 0 0 1 0 1 1 0 1   。 定理 5（保序性）：若 xn a n = → lim ， yn a n = → lim ，  N，当 n>N 时， xn = n y 。 Th6.（极限不等式） nN n n x  y 且 xn a n = → lim yn b n = → lim 则 a  b Th7. (夹迫性)： n n n x  y  z x yn a n n n = = → → lim lim => zn a n = → lim