1-P(A)-P(B)-P(C)+P(A)P(B)+ P(A)P(C)+P(B)P(C)+ P(AP(B)P(C) (1-P(A)(1-P(B)1-P(C)=P(A)P(B)P(C) 所以A,B,C相互独立。 18、证:必要性。事件A,A2…,A相互独立,用归纳法证。不失为一般性,假设总是 前连续m个集A取A的形式。当m=1时, P(AA P(A2…An)-P(A1…An)-P(A1…An) P(A2)…P(An)-P(A1)…p(4n)=P(A1)P(A2)…P(An) 设当m=k时有 P(A1…A4Ak41…An)=P(A1)…P(A)P(Ak+1…An) 则当m=k+1时 P(A1…AA+…A)=P(A1…A4Ak+2…An)-P(A1…A4Ak+1…A) P(A1)…P(Ak)P(Ak+2)…P(An)-P(A1)…P(Ak)P(A+1)…P(An) =P(A1)…P(Ak)(1-P(Ak+1)P(Ak+2)…P(An) =P(A1)…P(Ak)P(A41)P(Ak+2)…P(A) 从而有下列2式成立: P(A1A2…An)=P(A)P(A2)…P(An) 其中A取A或 充分性。设题中条件成立,则 P(A1…A)=P(A1)…P(An), P(A1…An-1An)=P(A1)…P(An-1)P(An) (2) A1…An-1An∩A1…An1A=φ P(A1…An-)=P(A1…,AUA1…An-14n) (1)+(2)得 P(A1…An1)=P(A1)…P(A-1)。 同理有 P(A1…An=2An-1An)=P(A1)…P(An-2)P(An-1)P(An), P( P(AD-. P(A-P(A-)P(A,) 两式相加得 P(41…A )=P(A1)…P(An2)P(An) (4) (3)+(4)得 P(A1…A-2)=P(A1)P(A2)…P(A1-2) 同类似方法可证得独立性定义中2”-n+1个式子 A1,…,An相互独立= 1− P(A) − P(B) − P(C) + P(A)P(B) + P(A)P(C) + P(B)P(C) + − P(A)P(B)P(C) = (1− P(A))(1− P(B))(1− P(C)) = P(A)P(B)P(C) ， 所以 A,B,C 相互独立。 18、证：必要性。事件 A A An , , , 1 2  相互独立，用归纳法证。不失为一般性，假设总是 前连续 m 个集 Ai ˆ 取 Ai 的形式。当 m =1 时， ( ) ( ) ( ) ( ) P A1A2 An = P A2 An − P A1 An − P A1 An ( ) ( ) ( ) ( ) = P A2 P An − P A1 p An ( ) ( ) ( ) = P A1 P A2 P An 。 设当 m = k 时有 ( ) ( ) ( ) ( ) P A1 Ak Ak+1 An = P A1 P Ak P Ak+1 An , 则当 m = k +1 时 ( ) ( ) ( ) P A1 Ak+1Ak+2 An = P A1 Ak Ak+2 An − P A1 Ak Ak+1 An ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = P A1 P Ak P Ak+2 P An − P A1 P Ak P Ak+1 P An ( ) ( )(1 ( )) ( ) ( ) = P A1 P Ak − P Ak+1 P Ak+2 P An ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = P A1 P Ak P Ak+1 P Ak+2 P An 从而有下列 2 n 式成立： ) ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ˆ ˆ ( P A1A2 An = P A1 P A2 P An , 其中 Ai ˆ 取 Ai 或 Ai 。 充分性。设题中条件成立，则 ( ) ( ) ( ) P A1 An = P A1 P An , (1) ( ) ( ) ( ) ( ) P A1 An−1An = P A1 P An−1 P An . (2) ∵ A1 An−1An  A1 An−1An =  , ∴ ( ) ( ) P A1 An−1 = P A1 An−1An  A1 An−1An . (1)+(2)得 ( ) ( ) ( ) P A1 An−1 = P A1 P An−1 。 (3) 同理有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A1 An−2 An−1An = P A1 P An−2 P An−1 P An , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A1 An−2 An−1An = P A1 P An−2 P An−1 P An 两式相加得 ( ) ( ) ( ) ( ) P A1 An−2An−1 = P A1 P An−2 P An−1 . （4） (3)+(4)得 ( ) ( ) ( ) ( ) P A1 An−2 = P A1 P A2 P An−2 。 同类似方法可证得独立性定义中 2 − n +1 n 个式子， ∴ A An , , 1  相互独立