马威等：液压溢流阀的失稳分析和实验研究 ·137 参数6=兰：量纲一的流量q=一 pm Apo c地2 CaesP 表1为实验室测得的溢流阀物理参数，用于计算 量纲一的参数，当开启压力Pm=1MPa,得到K= 2.46,B=7.53,8=22.67.量纲一的阻尼系数很难评 估，所以它是一个近似值. 表1溢流阀物理参数 Table 1 Physical parameters of the relief valve 量名称 含义 数值 5 弹簧刚度 26.7×103N-m-1 阀芯质量 0.0617kg D 阻尼系数 100Nsm1 图2阀结构中通流面积A(x)和位移x之间的关系 Po 大气压力 1×105Pa Fig.2 Geometry of the valve for calculating the relationship between A 阀座通流面积 1.39×10-4m2 the orifice area A(x)and displacement x E 油液弹性模量 0.435×109Pa 的压力：E为考虑油液压缩性和油管弹性之后的系统 油液体积 7×10-5m3 折算弹性模量；Qm为泵出口压力；V为系统全部油液 Ca 流量系数 0.86 体积：C,为阀入口处的流量系数，虽然它取决于雷诺 油液密度 870kg*m3 数，但在后面的数值分析和研究中，将它简化为常量： 91 线性系数 0.0112m A(x)为阀芯部分开启时的有效通流面积：P为液压油 运动黏度 2×10-5m2.5-1 密度.式(3)中表达的A(x)非常复杂，将它线性化并 写成A(x)=c1x,其中c1=sinaTD为线性系数，描述了 D 阀座孔径 0.0133m 通流面积和阀芯位移之间的线性关系，因为实验中阀 1.2 Lyapunov指数分析 芯位移极小，可以认为线性化非常精确地描述了实际 Lyapunov指数表征了系统在相空间中相邻轨道间 情况. 收敛或发散的平均指数率园.Lyapunov指数定义为 式(5)表示一次碰撞，ˉ为碰撞前的速度，v为碰 撞后的速度，「为碰撞恢复系数 A:=lim,i=1,2,n. 1.1量纲一的形式 为了方便评估系统，将式(4)转化为量纲一的形 对动力学系统的解矩阵进行QR分解后得到对角阵 R,A,即为R中的对角线元素，从而得到Lyapunov指数 式引入量纲一的变量y:(r)(i=1,2,3),其中 的特征值 = -,y2= 给出三维情况下Lyapunov指数的一些性质. x (入1，A2,A)=（负，负，负)：稳定定点： m tF√5p=Ptd= (入入2，入，)=（零，负，负）：稳定极限环： 式(4)可写成量纲一的形式： (入1，入2入3)=（零，零，负)：稳定二维环面： f(1)=yi=y, (入1，入2入)=（正，正，零）：不稳定极限环： (入1，入2，入)=（正，零，零)：不稳定二维环面： f(2)=y=-y2-(y,+8)+y3 (6) (入1，入2，入)=（正，零，负)：奇怪吸引子 f(3)=y=B(g-y1√3) Lyapunov指数取值的集合，即Lyapunov指数谱决 y2=-y1y=y3. (7) 定了系统在相空间轨线的性质.当入>0时，表示长时 式中量纲一的参数为：量纲一的阻尼系数K=三：量 间系统在相空间中相邻轨线沿该方向平均发散，反之 ms 收敛.最大Lyapunov指数A决定相邻轨线是（入<O) 2Pom 纲一的刚度参数B=長。√ 否（入>0）能靠拢形成稳定轨道或稳定点：最小Ly- :量纲一的预压缩 punov指数则表示相空间中所有轨线能（入<0）否马 威等: 液压溢流阀的失稳分析和实验研究 图 2 阀结构中通流面积 A( x) 和位移 x 之间的关系 Fig． 2 Geometry of the valve for calculating the relationship between the orifice area A( x) and displacement x 的压力; E 为考虑油液压缩性和油管弹性之后的系统 折算弹性模量; Qpump为泵出口压力; V 为系统全部油液 体积; Cd为阀入口处的流量系数，虽然它取决于雷诺 数，但在后面的数值分析和研究中，将它简化为常量; A( x) 为阀芯部分开启时的有效通流面积; ρ 为液压油 密度． 式( 3) 中表达的 A( x) 非常复杂，将它线性化并 写成 A( x) = c1 x，其中 c1 = sinαπD 为线性系数，描述了 通流面积和阀芯位移之间的线性关系，因为实验中阀 芯位移极小，可以认为线性化非常精确地描述了实际 情况． 式( 5) 表示一次碰撞，v － 为碰撞前的速度，v + 为碰 撞后的速度，r 为碰撞恢复系数． 1. 1 量纲一的形式 为了方便评估系统，将式( 4) 转化为量纲一的形 式． 引入量纲一的变量 yi ( τ) ( i = 1，2，3) ，其中 τ = t tref ，y1 = x xref ，y2 = tref xref v，y3 = p pref ， tref = m 槡s ，pref = p0，xref = Ap0 s ． 式( 4) 可写成量纲一的形式: f( 1) = y'1 = y2， f( 2) = y'2 = － κy2 － ( y1 + δ) + y3， f( 3) = y'3 = β( q － y1 槡y3 ) { ． ( 6) y + 2 = － ry － 2 ，y + 3 = y － 3 ． ( 7) 式中量纲一的参数为: 量纲一的阻尼系数 κ = ξ 槡ms; 量 纲一的刚度参数 β = E V Cd c1A ρ 2p0m 槡ρs ; 量纲一的预压缩 参数 δ = sxp Ap0 ; 量纲一的流量 q = Qpump Cd c1 Ap0 s 2 p0 槡ρ ． 表 1 为实验室测得的溢流阀物理参数，用于计算 量纲一 的 参 数，当 开 启 压 力 popen = 1 MPa，得到 κ = 2. 46，β = 7. 53，δ = 22. 67． 量纲一的阻尼系数很难评 估，所以它是一个近似值． 表 1 溢流阀物理参数 Table 1 Physical parameters of the relief valve 量名称 含义 数值 s 弹簧刚度 26. 7 × 103 N·m － 1 m 阀芯质量 0. 0617 kg ξ 阻尼系数 100 N·s·m － 1 p0 大气压力 1 × 105 Pa A 阀座通流面积 1. 39 × 10 － 4 m2 E 油液弹性模量 0. 435 × 109 Pa V 油液体积 7 × 10 － 5 m3 Cd 流量系数 0. 86 ρ 油液密度 870 kg·m － 3 c1 线性系数 0. 0112 m υ 运动黏度 2 × 10 － 5 m2 ·s － 1 D 阀座孔径 0. 0133 m 1. 2 Lyapunov 指数分析 Lyapunov 指数表征了系统在相空间中相邻轨道间 收敛或发散的平均指数率［18］． Lyapunov 指数定义为 λi = limt→∞ λi ( t) t ，i = 1，2，…，n． 对动力学系统的解矩阵进行 QＲ 分解后得到对角阵 Ｒ，λi即为 Ｒ 中的对角线元素，从而得到 Lyapunov 指数 的特征值． 给出三维情况下 Lyapunov 指数的一些性质． ( λ1，λ2，λ3 ) = ( 负，负，负) : 稳定定点; ( λ1，λ2，λ3 ) = ( 零，负，负) : 稳定极限环; ( λ1，λ2，λ3 ) = ( 零，零，负) : 稳定二维环面; ( λ1，λ2，λ3 ) = ( 正，正，零) : 不稳定极限环; ( λ1，λ2，λ3 ) = ( 正，零，零) : 不稳定二维环面; ( λ1，λ2，λ3 ) = ( 正，零，负) : 奇怪吸引子． Lyapunov 指数取值的集合，即 Lyapunov 指数谱决 定了系统在相空间轨线的性质． 当 λ ＞ 0 时，表示长时 间系统在相空间中相邻轨线沿该方向平均发散，反之 收敛． 最大 Lyapunov 指数 λ 决定相邻轨线是( λ ＜ 0) 否( λ ＞ 0) 能靠拢形成稳定轨道或稳定点; 最小 Lya￾punov 指数则表示相空间中所有轨线能 ( λ ＜ 0 ) 否 · 731 ·