第3期 李海林，等：基于特征矩阵的多元时间序列最小距离度量方法 443· 常利用数据变换的方法来实现数据处理，达到减噪 方法，是基于某种类型的投影机制，将高维的数据向 降冗的效果，例如奇异值分解4]、独立成分分 低维空间（特征空间）投影，并期望在特征空间中数 析和主成分分析0等。其中，主成分分析 据的方差最大。通过选择占有绝大部分信息的主成 (principal component analysis,PCA)是多元时间序 分来实现数据降维，同时进行特征表示。换句话说， 列数据降维和特征表示中最常用的方法之一[山)，它 如果把所有的点映射在一起，则几乎所有的原始信 通过对多元时间序列的协方差矩阵进行特征分解， 息都将丢失：若映射后数据的方差尽可能大，则数据 实现数据空间变换得到方差最大的主成分作为原始 点将被分开，使得距离信息保留得更多。因此，传统 数据的特征。同时，根据方差大小选择对应的前几 的主成分分析方法通过方差的大小来选择主成分。 个主成分作为多元时间序列的数据特征，从而实现 对于多元时间序列X=[X,X2…X]可以 原始多元时间序列的变量属性维度的降维。 表示成一个n×m的矩阵，即X=(x写)xm。其 在多元时间序列数据挖掘前期任务中，除了进 中，X,表示第个变量属性所形成的序列，x:表 行数据降维和特征表示外，相似性（或距离）度量也 示多元时间序列第i个时间点第j个变量的观测 是一项重要的工作，其度量质量直接影响着后期数 值，n和m分别表示多元时间序列的时间维度 据挖掘技术的性能和挖掘质量。例如，多元时间序 (长度)和变量维度。 列的聚类、分类、相似性查找和匹配、异常检测等都 根据主成分分析原理，首先需要计算多元时间 需要进行距离度量。在时间序列数据挖掘中，最常 序列变量之间的协方差，得到一个协方差矩阵 用的2种方法是欧氏距离(Euclidean distance)[和 Smxm,再通过奇异值分解对协方差矩阵Smxm进行特 动态时间弯曲方法(dynamic time warping, 征值和特征向量分解，得到以特征值大小排列形成 DTW))。前者能较快地计算序列之间的相似性， 特征值对角矩阵Σmxm=diag(入1，d2,…,入m)和对 适用于等长时间序列的相似性度量：后者对不等长 应的特征矩阵Umxm=[山1山2…u】,故有 时间序列的距离度量具有较强的鲁棒性，但需要二 Snkm=UxΣxnUExm (1) 阶的时间和空间复杂度，不利用大量较长时间序列 利用主成分分析方法对多元时间序列Xxm进 的相似性度量。针对主成分分析方法得到的特征数 行特征分解，可以得到相应的特征值和特征矩阵。 据，存在许多距离度量方法来实现特征数据的相似 同时，根据特征值（即方差）的大小，可以选择对应 性计算。其中，较为常用的是一种被称为EOs的距 的特征向量作为特征空间中的坐标轴，进而得到相 离度量方法[1，它利用夹角公式来度量2个特征向 应的主成分。选取前k(k<m)个主成分作为该多 量之间的关系，同时以相应的方差作为权重，较好地 元时间序列的特征，即 描述了多元时间序列经过特征变换后特征数据之间 Ynxt=X.xmUmxt (2) 的差异性。然而，Eos是根据特征序列方差大小来 与原始多元时间序列Xxm相比，由于k<m, 选择相应特征向量进行匹配，迫使较大方差对应的 特征序列Y4实现了数据降维.同时，其对原始数据 特征向量被用来计算相似性。另外，权重是由方差 信息的保存量为e=∑，A,/∑，A。然而，特征 的大小决定，使得Eos因过分强调方差的重要性而 序列Y4虽然对多元时间序列进行了降维处理，但 忽视了特征空间之间的差异性。 仅局限于从变量属性维度进行数据压缩，没有实现 针对上述问题，本文提出一种基于特征矩阵的 从时间属性维度方向的数据降维。鉴于此，部分学 多元时间序列最小距离度量方法，它利用主成分分 者通过比较数据降维后的特征空间来区分原始多元 析对多元时间序列进行特征表示，并获得相应的特 时间序列的数据分布特征[4。 征矩阵并构建相应的正交坐标系。另外，通过夹角 Eos距离度量方法就是一种基于特征空间的多 公式来度量2个多元时间序列对应正交坐标系中不 元时间序列相似性度量方法4。它利用主成分分 同坐标轴之间的距离，并结合匈牙利算法计算它们 析方法对多元时间序列进行特征分解，得到相应的 之间的最小距离。该方法不依赖于方差的大小来选 特征值和特征矩阵。同时，根据特征值的大小，选取 择夹角向量，而是通过度量正交坐标系之间的相似 对应的特征向量形成特征空间坐标系，并且结合综 性来反映原始多元时间序列的差异，进而克服了传 合权重W来计算2个多元时间序列A和B对应特征 统Eros方法的局限性。 空间坐标系之间的相似性，即 1 主成分分析与Eros距离度量 Eros(A,B,W)= ∑10，cos0 主成分分析(PCA)是一种最常用的线性降维 (3)常利用数据变换的方法来实现数据处理，达到减噪 降冗的 效 果， 例 如 奇 异 值 分 解［４⁃６］ 、 独 立 成 分 分 析［７⁃８］和 主 成 分 分 析［９⁃１０］ 等。 其 中， 主 成 分 分 析 （ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ， ＰＣＡ） 是多元时间序 列数据降维和特征表示中最常用的方法之一［１１］ ，它 通过对多元时间序列的协方差矩阵进行特征分解， 实现数据空间变换得到方差最大的主成分作为原始 数据的特征。 同时，根据方差大小选择对应的前几 个主成分作为多元时间序列的数据特征，从而实现 原始多元时间序列的变量属性维度的降维。 在多元时间序列数据挖掘前期任务中，除了进 行数据降维和特征表示外，相似性（或距离）度量也 是一项重要的工作，其度量质量直接影响着后期数 据挖掘技术的性能和挖掘质量。 例如，多元时间序 列的聚类、分类、相似性查找和匹配、异常检测等都 需要进行距离度量。 在时间序列数据挖掘中，最常 用的 ２ 种方法是欧氏距离（Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ ｄｉｓｔａｎｃｅ） ［１２］和 动 态 时 间 弯 曲 方 法 （ ｄｙｎａｍｉｃ ｔｉｍｅ ｗａｒｐｉｎｇ， ＤＴＷ） ［１３］ 。 前者能较快地计算序列之间的相似性， 适用于等长时间序列的相似性度量；后者对不等长 时间序列的距离度量具有较强的鲁棒性，但需要二 阶的时间和空间复杂度，不利用大量较长时间序列 的相似性度量。 针对主成分分析方法得到的特征数 据，存在许多距离度量方法来实现特征数据的相似 性计算。 其中，较为常用的是一种被称为 Ｅｒｏｓ 的距 离度量方法［１４］ ，它利用夹角公式来度量 ２ 个特征向 量之间的关系，同时以相应的方差作为权重，较好地 描述了多元时间序列经过特征变换后特征数据之间 的差异性。 然而，Ｅｒｏｓ 是根据特征序列方差大小来 选择相应特征向量进行匹配，迫使较大方差对应的 特征向量被用来计算相似性。 另外，权重是由方差 的大小决定，使得 Ｅｒｏｓ 因过分强调方差的重要性而 忽视了特征空间之间的差异性。 针对上述问题，本文提出一种基于特征矩阵的 多元时间序列最小距离度量方法，它利用主成分分 析对多元时间序列进行特征表示，并获得相应的特 征矩阵并构建相应的正交坐标系。 另外，通过夹角 公式来度量 ２ 个多元时间序列对应正交坐标系中不 同坐标轴之间的距离，并结合匈牙利算法计算它们 之间的最小距离。 该方法不依赖于方差的大小来选 择夹角向量，而是通过度量正交坐标系之间的相似 性来反映原始多元时间序列的差异，进而克服了传 统 Ｅｒｏｓ 方法的局限性。 １ 主成分分析与 Ｅｒｏｓ 距离度量 主成分分析（ ＰＣＡ） 是一种最常用的线性降维 方法，是基于某种类型的投影机制，将高维的数据向 低维空间（特征空间）投影，并期望在特征空间中数 据的方差最大。 通过选择占有绝大部分信息的主成 分来实现数据降维，同时进行特征表示。 换句话说， 如果把所有的点映射在一起，则几乎所有的原始信 息都将丢失；若映射后数据的方差尽可能大，则数据 点将被分开，使得距离信息保留得更多。 因此，传统 的主成分分析方法通过方差的大小来选择主成分。 对于多元时间序列 Ｘ ＝ Ｘ１ Ｘ２ … Ｘｍ [ ] 可以 表示成一个 ｎ × ｍ 的矩阵，即 Ｘ ＝ （ ｘｉｊ） ｎ ×ｍ 。 其 中， Ｘｊ 表示第 ｊ 个变量属性所形成的序列， ｘｉｊ 表 示多元时间序列第 ｉ 个时间点第 ｊ 个变量的观测 值， ｎ 和 ｍ 分别表示多元时间序列的时间维度 （长度）和变量维度。 根据主成分分析原理，首先需要计算多元时间 序列变 量 之 间 的 协 方 差， 得 到 一 个 协 方 差 矩 阵 Ｓｍ×ｍ ，再通过奇异值分解对协方差矩阵 Ｓｍ×ｍ 进行特 征值和特征向量分解，得到以特征值大小排列形成 特征值对角矩阵 Σ ｍ×ｍ ＝ ｄｉａｇ λ１ ，λ２ ，…，λ ｍ ( ) 和对 应的特征矩阵 Ｕｍ×ｍ ＝ ｕ１ ｕ２ … ｕｍ [ ] ，故有 Ｓｍ×ｍ ＝ Ｕｍ×ｍ Σ ｍ×ｍ Ｕ Ｔ ｍ×ｍ （１） 利用主成分分析方法对多元时间序列 Ｘｎ×ｍ 进 行特征分解，可以得到相应的特征值和特征矩阵。 同时，根据特征值（即方差）的大小，可以选择对应 的特征向量作为特征空间中的坐标轴，进而得到相 应的主成分。 选取前 ｋ（ｋ ＜ ｍ） 个主成分作为该多 元时间序列的特征，即 Ｙｎ×ｋ ＝ Ｘｎ×ｍ Ｕｍ×ｋ （２） 与原始多元时间序列 Ｘｎ×ｍ 相比，由于 ｋ ＜ ｍ ， 特征序列 Ｙｎ×ｋ 实现了数据降维．同时，其对原始数据 信息的保存量为 ｅ ＝∑ ｋ ｉ ＝ １ λｉ ／∑ ｍ ｊ ＝ １ λｊ 。 然而，特征 序列 Ｙｎ×ｋ 虽然对多元时间序列进行了降维处理，但 仅局限于从变量属性维度进行数据压缩，没有实现 从时间属性维度方向的数据降维。 鉴于此，部分学 者通过比较数据降维后的特征空间来区分原始多元 时间序列的数据分布特征［１４］ 。 Ｅｒｏｓ 距离度量方法就是一种基于特征空间的多 元时间序列相似性度量方法［１４］ 。 它利用主成分分 析方法对多元时间序列进行特征分解，得到相应的 特征值和特征矩阵。 同时，根据特征值的大小，选取 对应的特征向量形成特征空间坐标系，并且结合综 合权重 Ｗ 来计算２ 个多元时间序列 Ａ 和 Ｂ 对应特征 空间坐标系之间的相似性，即 Ｅｒｏｓ（Ａ，Ｂ，Ｗ） ＝ ∑ ｋ ｉ ＝ １ ｗｉ ｜ ＜ ｕ ａ ｉ ，ｕ ｂ ｉ ＞ ｜ ＝ ∑ ｋ ｉ ＝ １ ｗｉ ｃｏｓ θｉ （３） 第 ３ 期 李海林，等：基于特征矩阵的多元时间序列最小距离度量方法 ·４４３·