证明注意在第一章第7讲中我们已经知道X或X*是可分的当 且仅当其单位球是可分的.设S(Xx)是x的单位球面,f,,…是 Sn(X)中的可数稠密子集,由于 |-=sup(x)=1, 取x,|xnl=1,使 (xn)22 记E=span{xn},则E=X.若不然,有x∈X\E,则d(x,E)>0, 根据第二章第14讲推论5,存在∫∈X,f=1,f(x)=p(x,E) 并且f(x)=0(x∈E),于是∫∈S2(X”)·但21 -八|≥(x)-=(x)=1(x)> 这与{m}在S(X)中稠密矛盾 例5定理15的逆不真 我们已经知道()=,是可分的,但不是可分的 定理16设X是可分线性赋范空间,则X中的任一有界序列 G}存在子序列{m},f一”→∫∈x.特别地,x的闭单位球 是,序列紧的 证明不妨设{xn}在X中稠密,|f‖s111 证明 注意在第一章第 7 讲中我们已经知道 X X 或 是可分的 当 * 且仅当其单位球是可分的. 设 S X p ( ) ∗ 是 X ∗ 的单位球面， 1 2 f f , ,"是 S X p ( ) ∗ 中的可数稠密子集，由于 ( ) 1 sup n n n f fx ≥ = =1， 取 n x ， 1 n x = ，使 ( ) 1 2 n n f x ＞ (n =1,2,") ． 记 E = span {xn} ，则 E = X . 若不然，有 0 x ∈ X E\ ，则 dxE ( 0 , )＞0， 根据第二章第 14 讲推论 5，存在 f X ∗ ∈ ， f =1， f ( x xE 0 0 )( ) = ρ , 并且 f () ( ) x xE = ∀∈ 0 ，于是 f S X p ( ) ∗ ∈ ．但 ∀n ≥1， () () ( ) 1 2 n nn n nn f f f x fx f x −≥ − = ＞ , 这与 { fn}在 S X p ( ) ∗ 中稠密矛盾. 例 5 定理 15 的逆不真. 我们已经知道 ( ) 1 l l ∗ ∞ = ， 1 l 是可分的，但 l ∞ 不是可分的. 定理 16 设 X 是可分线性赋范空间，则 X ∗ 中的任一有界序列 { fn}存在子序列 { fnk } ， * . k w nf f X → ∈ ∗ 特别地， X ∗ 的闭单位球 是 w∗ 序列紧的. 证明 不妨设 {xn} 在 X 中稠密， 1 nf ≤ ．