第二章随机变量及其数字特征 §21随机变量和分布函数 随机变量: 直观上看,所谓随机变量,就是我们在随机实验中测定的量。例如观察10只新生动物的性 别,并计算其中雄性动物的数量Ⅹ,显然X可能取值为0,1,…,10:;但究竟取值为几,只能在 实验结束时才知道。象这样在实验中所得到的取值有随机性的量,就称为随机变量。随机变量 的特点就是当实验条件一定时,实验结果仍不确定。 上面所举的例子是离散型的随机变量,因为它只有有限个或可列个可能的取值。另外还有 大类随机变量,它们的取值是在某个区间中连续变化的,例如人的身高,体重,胸围…象这 样的随机变量称为连续型随机变量。 分布函数: 随机变量的取值是有随机性的,我们事先无法知道,但它的取值也是有规律性可循的,这 种规律性就表现在各个值出现的频率上。象上面的例子,如果我们把大量的初生动物分为10只 组进行观察,那末在一般情况下X取值为0或10的机会是非常少的,而取4,5,6的机会会相 当多。因此如果我们知道了离散随机变量取每个值的概率,那么我们对这个随机变量可以说知 道得很清楚了,我们可以把这样的关系列成一张表 X:01 P: Po P P10 这样的表称为概率分布表,P称为概率函数,并记为: P(X=x)=p(x) 显然概率函数应满足:对任意可能结果ⅹ,有 p(≥0.且∑p(x)= 这里的求和是对一切可能的结果进行的 对于连续型随机变量来说,它的可能取值是不可列的,实际上它取到某一个确定值的可能 性都为0,比如说人的体重,实际上不可能找到一个人体重为精确的100Kg而一点不差,这一方 面是我们的测重手段不能无限精密,另一方面如果真的无限精密,重100Kg的人就找不到了 当然在实践中不会这样要求,我们关心的通常是某一范围内的人,如100±5Kg,100±0.5Kg 100±0.05Kg…等等,如果我们的研究越细致,我们所考虑的区间一般就越小。这样,采用类似 微分的概念,我们就有: f(r)=lm p(rs x<x+ Ax) △x 称f(x)为随机变量X的密度函数,显然应有f(x)≥0,且可积: f(xdx=1 而 P(asx<b)= f(x)dx 为X落在[a,b)中的概率。 定义:设X为一随机变量,称函数 F(x)=P(X<x)(-∞<x<+∞) 为X的分布函数。 这个定义适用于离散型随机变量,也适用于连续型随机变量。连续型分布函数也可表示为 密度函数的积分:第二章 随机变量及其数字特征 §2.1 随机变量和分布函数 一、 随机变量： 直观上看，所谓随机变量，就是我们在随机实验中测定的量。例如观察10只新生动物的性 别，并计算其中雄性动物的数量X，显然X可能取值为0，1，…，10；但究竟取值为几，只能在 实验结束时才知道。象这样在实验中所得到的取值有随机性的量，就称为随机变量。随机变量 的特点就是当实验条件一定时，实验结果仍不确定。 上面所举的例子是离散型的随机变量，因为它只有有限个或可列个可能的取值。另外还有 一大类随机变量，它们的取值是在某个区间中连续变化的，例如人的身高，体重，胸围…象这 样的随机变量称为连续型随机变量。 二、 分布函数： 随机变量的取值是有随机性的，我们事先无法知道，但它的取值也是有规律性可循的，这 种规律性就表现在各个值出现的频率上。象上面的例子，如果我们把大量的初生动物分为10只 一组进行观察，那末在一般情况下X取值为0或10的机会是非常少的，而取4，5，6的机会会相 当多。因此如果我们知道了离散随机变量取每个值的概率，那么我们对这个随机变量可以说知 道得很清楚了，我们可以把这样的关系列成一张表： X： 0 1 …… 10 P： P0 P1 …… P10 这样的表称为概率分布表，P称为概率函数，并记为： P（X=x）=p(x) 显然概率函数应满足：对任意可能结果x，有 p(x)≥0, 且  = x p(x) 1 这里的求和是对一切可能的结果进行的。 对于连续型随机变量来说，它的可能取值是不可列的，实际上它取到某一个确定值的可能 性都为0，比如说人的体重，实际上不可能找到一个人体重为精确的100Kg而一点不差，这一方 面是我们的测重手段不能无限精密，另一方面如果真的无限精密，重100Kg的人就找不到了。 当然在实践中不会这样要求，我们关心的通常是某一范围内的人，如100±5Kg，100±0.5Kg、 100±0.05Kg…等等，如果我们的研究越细致，我们所考虑的区间一般就越小。这样，采用类似 微分的概念，我们就有： x p x X x x f x x    +  =  → ( ) ( ) lim 0 称f(x)为随机变量X的密度函数，显然应有f(x)≥0，且可积：   − f (x)dx =1 而 P（a≤X<b）=  b a f (x)dx 为X落在[a, b）中的概率。 定义：设X为一随机变量，称函数 F(x) = P(X<x) (-∞<x<+∞) 为X的分布函数。 这个定义适用于离散型随机变量，也适用于连续型随机变量。连续型分布函数也可表示为 密度函数的积分：