第三十二讲变分法初步(续 第3页 在边界条件 )有界,y(1)=0 和约束条件 y2 下的极值曲线 解采用上面描述的 Lagrange乘子法,可以得到必要条件 -正b)(y2-Ax)=0 dd dx/taz 此方程及齐次的边界条件即构成一个本征值问题,它的本征值 A=12,两是零阶贝塞耳函数J(x)的第i个正零点,i=1,2,3, 正好就是 Lagrange乘子,而极值函数就是相应的本征函数 yi(a)=CJo (uir) 常量C可以由约束条件定出.因为 C2/x6()dx=()=1, 所以 这样,就求出了极值函数 y()=n1(m(r 由于 Lagrange乘子的引进,在 Euler- Lagrange方程出现了待定参量,和齐次边界条件组合在 一起,就构成本征值问题.而作为本征值问题,它的解,本征值和本征函数,有无穷多个.这里有 两个问题需要讨论 ★第一个问题,这无穷多个本征函数都是极值函数 这可以从下面的变分计算看出.由边界条件以及由此推得的 5y有界, 可以求出I的一级变分 61=2/xy(y)dx, 进而可以求出I的二级变分 6l=2x0)>0Wu Chong-shi ￾✁✂✄☎ ✆✝✞✟✠ (✡) ☛ 3 ☞ ●çè✻✼ y(0) ✴è, y(1) = 0 ➪❍■✻✼ Z 1 0 x y2 dx = 1 ★✭✮✯ ✟✠✲ ✡ ☛ ➤❖❢☞❨ ✭ Lagrange ➸➺✌✶ ❅ ❃✍ ❮✹✺✻✼  ∂ ∂y − d dx ∂ ∂y0 ￾ x y02 − λ x y2
= 0, ❋ d dx  x dy dx  + λ x y = 0. (#) ❐ êëé✎✏✭ çè✻✼❋✑❇ ✧❛✒✓✯✰✱✶✷✭✒✓✯ λi = µ 2 i , µi ✽✔✕✖✗✘✫✬ J0(x) ✭✙ i ❛❦✔❰ ✶i = 1, 2, 3, · · · ❦✚❩✽ Lagrange ➸➺✶q✮✯✫✬❩✽ñò✭✒✓✫✬ yi(x) = C J0 (µix). ➦ ➬ C ❅ ❃ P❍■✻✼➻❘✲✾✿ C 2 Z 1 0 x J 2 0 (µix) dx = C 2 2 J 2 1 (µi) = 1, ❂❃ C = √ 2 J1(µi) . ❑❳✶ ❩❏❘✛✮✯✫✬ yi(x) = √ 2 J1(µi) J0(µix). P❵ Lagrange ➸➺✭ ➳➵✶● Euler–Lagrange êë❘å✛✜➻✢➬ ✶➪✎✏çè✻✼✣✤● ✧✥ ✶ ❩ ✑❇ ✒✓✯✰✱✲q✦✿✒✓✯✰✱✶✷ ✭◗✶ ✒✓✯ ➪ ✒✓✫✬✶✴✧★✩❛✲❑✩ ✴ ➹❛✰✱✐ ✺✪✫✲ F ✙✧❛✰✱✶ ❑ ✧★✩❛✒✓✫✬✬✽✮✯✫✬✲ ❑❅❃ ⑦★❢ ✭➷⑥✭✮➶ ❘✲Pçè✻✼❃é P❐✯✍✭ δy    x=0 ✴è, δy    x=1 = 0. ❅ ❃ ❏❘ I[y] ✭✧✰➷⑥ δI[y] = 2 Z 1 0 x y0 (δy) 0 dx, ➵ q❅ ❃ ❏❘ I[y] ✭ ✵ ✰➷⑥ δ 2 I[y] = 2 Z 1 0 x ￾ δy 0
2 dx > 0