基变换与坐标变换 设向量空间v的基①a1,…an;基②月1,…,B 基变换:B可由a,…,a唯一的线性表示,所以有 Bu m1+C,1C,+…+C,;C1 C1C12 β2=c12ar1+c2a2+…+cr2a C b=cua,+c,,,+.+ca 矩阵乘法形式:(B1,B2,…月)=(a1,a2,…;a,)C 称上式为由基①改变为基②的基变换公式 称C为由基①改变为基②的过渡矩阵 定理10向量空间V中由基①改变为基②的过渡矩阵C是可逆矩阵. 证若det4=0,则齐次方程组Ax=0有非零解x=(k1…,k,),由此 可得k1B1+…+k,B1=(月,…,B,)x=(a1,…a,)Cx=0 即B,月2,…,B线性相关,矛盾!故C是可逆矩阵 [注]由基②改变为基①的基变换公式为 (a1,a2,…,a)=(B1,B2,,B,)C 由基②改变为基①的过渡矩阵为C- 坐标变换:Va∈V,有 a=x1c1+…+xar1=(20 7．基变换与坐标变换 设向量空间 V 的基①   r , , 1  ；基②   r , , 1  ． 基变换：  j 可由   r , , 1  唯一的线性表示, 所以有        = + + + = + + + = + + + r r r rr r r r r r c c c c c c c c c                 1 1 2 2 2 12 1 22 2 2 1 11 1 21 2 1             = r r rr r r c c c c c c c c c C       1 2 21 22 2 11 12 1 矩阵乘法形式： (1 , 2 ,  , r ) = (1 , 2 ,  , r )C 称上式为由基①改变为基②的基变换公式． 称 C 为由基①改变为基②的过渡矩阵． 定理 10 向量空间 V 中由基①改变为基②的过渡矩阵 C 是可逆矩阵． 证 若 detA = 0, 则齐次方程组 Ax = 0 有非零解 T 1 ( , , ) x = k  kr , 由此 可得 k11 ++ kr r = (1 ,  , r )x = (1 ,  , r )Cx = 0 即    r , , , 1 2  线性相关, 矛盾！故 C 是可逆矩阵． [注] 由基②改变为基①的基变换公式为 1 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) −     r =     r C 由基②改变为基①的过渡矩阵为 −1 C ． 坐标变换：  V , 有  = x11 ++ xr r           = r r x x   1 1 ( , , )