习题13.3重积分的变量代换 1.利用极坐标计算下列二重积分 (1)∫e-ddy,其中D是由圆周x2+y2=R2(R>0)所围区域; (2)∫ Vxdxdy,其中D是由圆周x2+y2=x所围区域 (3)∫(x+y),其中D是由圆周x2+y2=x+y所围区域 解(1)×争,其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成 (4) 的在第一象限上的区域 dxdy= dele rdr=r(I-e D (2)j√h=CD0== (3)(x+y)d=∫(sm+csOd in 6+cost (sin 0+ cos0)de (0+dB n tdt 注:本题也可通过作变换 x=-+rcos8,y 2sine(0≤6≤2x,0srs、1 来求解 (4) rdr dt dt 2.求下列图形的面积: (1)(a1x+by+c1)2+(a2x+b2y+c2)2=1(=ab2-a2b1≠0)所围的 区域; (2)由抛物线y2=mx,y2=mx(0<m<n),直线 y=ax,y=kx(0<a<B)所围的区域; (3)三叶玫瑰线(x2+y2)2=a(x3-3xy2)(a>0)所围的图形; (4)曲线x+2 (h,k>0,a,b>0)所围图形在x>0,y>0的 h k 部分习 题 13.3 重积分的变量代换 1. 利用极坐标计算下列二重积分： （1）∫∫ − + ，其中 是由圆周 所围区域； D e dxdy ( x y ) 2 2 D x y R R 2 2 2 + = ( > 0) （2）∫∫ D xdxdy ，其中D是由圆周 x 2 + y 2 = x所围区域； （3）∫∫ + ，其中 是由圆周 所围区域； D (x y)dxdy D x y x 2 2 + = + y （4）∫∫ + + − − D dxdy x y x y 2 2 2 2 1 1 ，其中 是由圆周 及坐标轴所围成 的在第一象限上的区域。 D x y 2 2 + = 1 解（1）∫∫ − + 。 D e dxdy ( x y ) 2 2 (1 ) 2 2 0 2 0 R R r d e rdr e − − = = − ∫ ∫ θ π π （2）∫∫ D xdxdy 15 8 cos 5 4 cos 2 0 3 cos 0 2 2 = = = ∫ ∫ ∫ − π θ π π θ dθ rrdr θdθ 。 （3）∫∫ + D (x y)dxdy ∫ ∫ + − = + π θ θ π θ θ θ sin cos 0 2 4 3 4 (sin cos )d r dr 3 1 = 2 sin 3 4 ) 4 sin ( 3 4 (sin cos ) 0 4 4 3 4 4 4 3 4 4 π θ π θ θ θ θ π π π π π + = + = = ∫ ∫ ∫ − − d d tdt 。 注：本题也可通过作变换 ) 2 1 sin (0 2 , 0 2 1 cos , 2 1 x = + r θ y = + r θ ≤ θ ≤ π ≤ r ≤ 来求解。 （4）∫∫ + + − − D dxdy x y x y 2 2 2 2 1 1 ∫ ∫ ∫ + − = + − = 1 0 1 0 2 2 2 0 1 1 1 4 1 dt t t rdr r r d π θ π = − − = ∫ 1 0 2 1 1 4 dt t π t 8 4 2 π π − 。 2. 求下列图形的面积： （1）( ) a x1 1 + + b y c1 2 + (a2 2 x + b y + c2 ) 2 = 1 （δ = a b1 2 − a2b1 ≠ 0）所围的 区域； （2）由抛物线 y m 2 2 = = x, ( y nx 0 < m < n) ，直线 y x = = α , ( y βx 0 < α < β) 0) 所围的区域； （3）三叶玫瑰线( ) x y 2 2 + = 2 a(x 3 − 3xy 2 ) (a > 所围的图形； （4）曲线 x h y k x a y b + h k a b ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = + > > 4 2 2 2 2 ( , 0; , 0)所围图形在 x > 0 0 , y > 的 部分。 1