第三章化模型匹配问题为广义距离问题 本章内容包括传递函数矩阵的 Immer- outer分解以及谱分解。对这些分解涉及的代数 Riccati方程的解 的理论,将做比较详细的介绍。通过这些分解,可将模型匹配问题化为广义距离问题 31引言 第二章通过镇定器的 Youla参数公式,已将控制问题转化为模型匹配问题 Q。1+n12Qr21l 这里 t B2F Ba r=(T1T12) A+ HC2 B1+ HD21 0 C1+D D1 D D 0 其中状态反馈阵F和输出注入阵H的选择使得AF=A+B2F和AH=A+HC2稳定。为使所讨论的 问题更具有普遍意义,考虑一般的模型匹配问题。由(31)显而易见,T;和G;的维数相同。所以,在 (3.1)中,令T11∈ RHPI,T12∈RP1×m2,T21∈R2×m为已知的稳定的传递函数矩阵,Q为待 确定的稳定的传递函数矩阵。模型匹配问题可以通过 Nevannlina-Pick插值法解决。对于这种方法,这里 不做详细介绍。读者可参阅(Kima).本章先通过对T1和T21的 inner-outer分解把MMP化为一个与 之等价的广义距离问题,再通过谱分解把广义距离问题化为 Nehari问题 为闸明用 inner-outer分解法化简MMP的思路,先考虑j∞处的模型匹配问题 minl‖(T1+T12Q21)(1∞) 32) 由引理24, Yr(j∞)=I,xr(j0)=0,N(j∞)=D22,D1(j)=I 于是 K(10)=(I+Q(j0)D2)Q(∞),Q(1∞)=K(jx)(I-D22K(j∞) j∞处的模型匹配问题等价于 5Dn+D2(×1-D2(x)D21=V(DE(x) 记Q三Q(1∞)=K(j)(I-D2K(∞)-2.上式为 mind u1+ Di2QD21j 设D2满列秩,D21满行秩。于是可通过初等列变换,将D12的列向量正交化,通过初等行变换,将 D21的行向量正交化。即存在D12∈CP1Xm,D12,∈CmXm,D21∈Cpm1,D12,∈CpP满足 D12=D12,D12 =D21,D21i,D12D12;=Im2,D21D12=I2,D12,和D2,非奇异。若p1>m2 则可找到另外p1-m2个列向量构成p1x(m1-m2)矩阵D1,使得[D⊥D12,是一个方的酉矩阵,即 [D⊥D2i[D⊥D12,=.D1叫做D12的正交补。类似地,若P<m1,则可找到另外m41-p2个行 量构成(m1-p2)×m1矩阵D⊥,使得D1D2,d是一个方的酉矩阵,即[iD21i][DiD1,l=I.￾✂✁✂✄✆☎✂✝✂✞✂✟✂✠✂✡✂☛✂☞✂✌✂✍✂✎✂✏✂✡✂☛ ✑✓✒✓✔✓✕✓✖✓✗✓✘✓✙✓✚✓✛✢✜✤✣✦✥★✧✩✩✪ ✫✬ ✭✮✯ ✪ ✫✱✰✓✲✓✳✓✴✓✵✓✰✓✲✓✶✸✷✓✹✓✺✓✰✤✲✓✻✓✴✤✥✓✼✓✛✾✽✱✧ ✿ ✿❀✯ ✧❂❁✓❃✓✥✓✲ ✥✓❄✓❅✓❆✦❇✓❈✓❉✓❊✤❋✤●✓✥✤❍✓■✤✶✦❏✓❑✤✹✤✺✓✰✤✲✓❆✦▲✤❇✤▼✓◆✤❖✓P✤◗✓❘✤❙✓❚✤❯✤❱✓❲✤❳✓◗✤❘✓✶ ❨❬❩✱❭ ❪❴❫❛❵ ❜✓❝✓✒✓❏✓❑✓❞✓❡✤❢✤✥❤❣✐✭✮❥❀❧❦✓✛✓♠✓♥✓❆✦♦✓❇❤♣rqts✓✉✓◗✓❘✓✈✓❙✓❚✤▼✤◆✓❖✤P✓◗✤❘ ✇✧✩ ①③② ④✐⑤✐⑥⑧⑦ ⑨✸⑩ ⑩❷❶✦⑨✸⑩ ❸ ❹❧⑨❺❸ ⑩ ⑦ q❼❻ ❽ ❾ ❿ ➀ ➁ ✹✓➂ ⑨✤➃ ➄ ⑨✸⑩ ⑩➅⑨✸⑩ ❸ ⑨❺❸ ⑩➇➆➉➈➋➊ ➊ ➌ ➃➍➃➏➎➐ ➐ ➐ ➐➑ ➒ ❶❼➓③❸ ➔➣→③➓③❸ ➔ ➓➍⑩↔➓③❸ ➆ ➒ ❶✦↕➛➙✱❸ ➓➍⑩❷❶❼↕➛➜✸❸ ⑩➝➆ ➙③⑩➞❶❼➜❧⑩ ❸ ➔➟→③➜❧⑩ ❸ ➔ ➜❧⑩ ⑩➠➜❧⑩ ❸ ➆ ➙✱❸ ➜✸❸ ⑩ ➆ ➡➢ ➢ ➢ ➢ ➤ ❻ ➥✤➦✤➧✤➨✤➩✤➫✤✣ ➔✤➭✤➯✤➲✤➳✤➵ ✣ ↕ ✥✤➸✤➺✤➻✤➼ ➒③➽ ➃ ➒ ❶✓➓③❸ ➔➋➭ ➒③➾ ➃ ➒ ❶❼↕➛➙✱❸③➚ ❡✤✶✦❚✤➻✤➪✤➶✤❅✤✥ ◗✓❘✓➹✓➘✓➴✓➷✓➬✤➮✓❱✤❆✃➱✤❐✓❒✤❮✓✥✤▼✓◆✤❖✓P✤◗✓❘✤✶✃❰Ï❽ ❾ ❿ ➀ ➁✐Ð✓Ñ✓Ò✓Ó✓❆ ⑨❧ÔÕ➍➭×Ö✸ÔÕ ✥✓Ø✓✛✓Ù✓Ú✓✶✃➪✤✳✓❆✃Û ❽ ❾ ❿ ➀ ➁Ü➦✤❆✦Ý ⑨✸⑩ ⑩➍Þ➛ß ♣❧à á â ã③á ä ⑨✸⑩ ❸➍Þ➛ß ♣❧à á â ã✱å ä ⑨❺❸ ⑩③Þ⑧ß ♣✸à å â ã③á✱❚✤♦✤æ✤✥➚ ❡✤✥✤✘✤✙✤✚✤✛✤✜✤✣✤❆ ❹ ❚✤ç è✤❡✤✥➚ ❡✤✥✤✘✤✙✤✚✤✛✤✜✤✣✓✶✦▼✤◆✤❖✤P✓◗✤❘✤▲✓✳✤❏✤❑➏é✱✪ê❀✩✩❥ ✧✩❀✬ ë❷✧ ✿ì❺í✤î✤ï✤✲✤ð✤✶✦✷✤ñ✤✹✤ò✤❁✤ï✤❆✦✹✓➂ ó❈✓❋✓●✓❍✓■✓✶❼ô✓õ✤▲✓❦✤ö×❽ ÷③✧✇✮✫❀➁ ❿✐✑✓✒✓ø✓❏✓❑✓✷ ⑨r⑩ ❸✱➭➏⑨✸❸ ⑩ ✥✾✧✩✩✪ ✫✬ ✭✮✯ ✪ ✫✱✰✓✲✓ù➏ú➛ú➛ë✦❙✓❚✓❒✓û✓ü ý✓þ✓ÿ✓✥✓❯✓❱✓❲✤❳✓◗✤❘✤❆✁￾✓❏✤❑✓✵✤✰✤✲✓ù✤❯✓❱✤❲✓❳✤◗✓❘✤❙✤❚➏é✱✪✂❀✫ ✧Ü◗✓❘✓✶ ❚☎✄✝✆✟✞❤✧✩✩✪ ✫✬ ✭✮✯ ✪ ✫③✰✓✲✓ï✓❙✝✠✾ú➛ú➛ë✓✥☛✡✁☞✓❆✦ø✓➱✓❐✍✌✎✑✏✓✥✓▼✓◆✓❖✓P✤◗✓❘ ✇✧✩ ✒✔✓Õ q✖✕ ⑦ ❽✗ ⑩ ⑩❷❶ ✗ ⑩ ❸ ✘ ✗ ❸ ⑩ ➁❬❽ ✌✎❼➁ ⑦✚✙ ❽ ❾ ❿ ✛ ➁ ❰☛✜✦❄✢✛ ❿ ✣ ä ✤✦✥ ❽ ✌✎❼➁ ➃★✧ ❻✝✩✥ ❽ ✌✎❼➁ ➃✓➆ ❻☛✪✬✫ ❽ ✌✎❼➁ ➃✤➜✸❸ ❸ ❻ ➜ ✫ ❽ ✌✎❼➁ ➃✭✧✮✙ ñ✭✯ ✰ ❽ ✌✎❼➁ ➃ ❽ ✧③❶★✘ ❽ ✌✎❼➁ ➜✸❸ ❸ ➁ ✱ ⑩ ✘ ❽ ✌✎❼➁❬❻ ✘ ❽ ✌✎❼➁ ➃ ✰ ❽ ✌✎❼➁❬❽ ✧❺→✦➜✸❸ ❸ ✰ ❽ ✌✎❼➁ ➁ ✱ ⑩ ❻ ✌✎✲✏✓✥✓▼✓◆✓❖✓P✓◗✤❘✓þ✤ÿ✓ñ ✇✧✩ ✳✮✓Õ q✖✕ ✵✁✶ ✴ ➜❧⑩ ⑩❷❶✦➜❧⑩ ❸ ✰ ❽ ✌✎❼➁❬❽ ✧❺→✦➜✸❸ ❸ ✰ ❽ ✌✎❼➁ ➁ ✱ ⑩ ➜✸❸ ⑩ ✷➍➃ ✇✧✩ ✳✮✓Õ q✖✕ ✵✹✸ ✴ ✺✫ ❽➜ ❻ ✰ ❽ ✌✎❼➁ ➁ ✻ ✼ ✘☎✽➃✝✘ ❽ ✌✎❼➁ ➃ ✰ ❽ ✌✎❼➁❬❽ ✧❺→✃➜✸❸ ❸ ✰ ❽ ✌✎❼➁ ➁ ✱ ⑩ ❿✚✾✓♥✓❚ ✇✧✩ ✒ ✵✹✸ ✴ ➜❧⑩ ⑩❷❶❼➜❧⑩ ❸ ✘❺➜✸❸ ⑩ ✻ ✿ ➜❧⑩ ❸❁❀✝❂☛❃❆ ➜✸❸ ⑩❁❀✝❄☛❃✶✦ñ✝✯✤▲✤❏✤❑✝❅✤þ❂✝❆✝❇❆✦❇ ➜❧⑩ ❸ ✥ ❂❉❈✟❊✝❋✝●❙✤❆✦❏✤❑✝❅✤þ❄☛❆✝❇❆✦❇ ➜✸❸ ⑩ ✥❄❍❈✁❊☛❋☛●❙➋✶✭■✭❏➋Û ➜❧⑩ ❸ ❑ ▲➍Þ◆▼ à á â ã✱å ä ➜❧⑩ ❸ ❑ ❖✦Þ◆▼ã✱å â ã✱å ä ➜✸❸ ⑩ ❑ ▲✸Þ◆▼ à å â ã③á ä ➜❧⑩ ❸ ❑ ❖✦Þ◆▼ à å â à å ❀☎P ➜❧⑩ ❸✱➃✤➜❧⑩ ❸ ❑ ▲➜❧⑩ ❸ ❑ ❖ ä ➜✸❸ ⑩✐➃✤➜✸❸ ⑩ ❑ ❖➜✸❸ ⑩ ❑ ▲ ä ➜✹◗⑩ ❸ ❑ ▲➜❧⑩ ❸ ❑ ▲❬➃✭✧ã✱å ä ➜✸❸ ⑩ ❑ ▲➜✹◗⑩ ❸ ❑ ▲ ➃✝✧à å ä ➜❧⑩ ❸ ❑ ❖③➭➏➜✸❸ ⑩ ❑ ❖✬❘★❙✝❚✶✁❯✲❱⑩✬❲★❳r❸ ä ❨✤▲☛❩✭❬☎❭★❪✢❱⑩✱→★❳r❸ û ❂❉❈✟❊✝❫✝❴ ❱ ⑩❁❵ ❽❱ ⑩✱→✁❳r❸ ➁③✜✤✣ ➜✹❛ ä➞➻✤➼ ✸➜✹❛ ➜❧⑩ ❸ ❑ ▲ ✻❜✯✤❒✤û✤❁✤✥☛❝✓✜✤✣✤❆✭■ ✸➜✹❛ ➜❧⑩ ❸ ❑ ▲ ✻ ◗❡❞ ✸➜✹❛ ➜❧⑩ ❸ ❑ ▲ ✻ ➃✭✧ ❿ ➜✹❛✭❢❈ ➜❧⑩ ❸ ❑ ▲ ✥❋✭●✝❣✶✐❤✭❥✭❦✓❆✐❯❧❱❸❁♠★❳➛⑩ ä ❨✓▲✝❩★❬☛❭✁❪ ❳➛⑩✱→ ❱ ❸ û ❄ ❈✐❊✭❫✭❴ ❽❳➛⑩➞→ ❱ ❸ ➁ ❵✖❳➛⑩ ✜✓✣♦♥➜✹❛ ä ➻✓➼ ✸ ♥➜◗❛ ➜◗❸ ⑩ ❑ ▲ ✻ ◗ ✯✓❒✓û✓❁✓✥✝❝❼✜✓✣✓❆✹■ ✸ ♥➜◗❛ ➜◗❸ ⑩ ❑ ▲ ✻ ◗ ❞ ✸ ♥➜◗❛ ➜◗❸ ⑩ ❑ ▲ ✻ ➃★✧ ❿ ❾ ♣