Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 根据引理 dz=0.又因为 Res e-3e+2/ 3e-+2 e3-3e+2 lim lim 据 lemma2, d=i·(-3)·(-x)=3m 因此 所以1=-m 3e+2 dx=--(-3丌)= (X)4.多值函数积分的两种类型 (1)[xxkx(a是非整数) 条件:(1)由Q(x)所唯一确定的在全平面上的单值解析函数Q(z)仅有有 限个奇点,其中在正实轴上最多有有限个单极点 (2)当→>0和z→∞时,“Q(=)一致地趋于零。 解法:(1)先考虑在正实轴上没有奇点的情况。 由于-是多值函数,它的支点是 z=0和z=∞,我们沿正实轴作割 线,并考虑单值分支0≤argz≤2r 因此规定上岸()有argz=0,则在 下岸(2)有arg=2z.取闭积分路 径C如左图所示,因此 ∑Rs"(= 当取极限R→>∞,δ→0时Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 20 根据引理 1: d 0 3 2 3 3 = − + CR i z iz z z e e . 又因为 3 3 3 3 3 2 0 0 0 3 0 3 2 3 2 3 2 Res lim lim 3 3 9 3 | 3. 2 2 i z iz i z iz i z iz z z z i z iz z e e e e e e z z z z i e i e z → → = = − + − + − + =  = − − + = = = − 据 lemma 2， z i i z e e C i z i z    d ( 3) ( ) 3 3 2 3 3 =  −  − = − +  . 因此 x i z e e i x ix d 3 3 2 3 3 = − − +   − . 所以 3 3 3 1 3 2 1 3 Im d ( 3 ) . 8 8 8 i x ix e e I x x    − − + = − = −  − =  (X) 4．多值函数积分的两种类型 （1）   − 0 1 x Q(x)dx  （是非整数） 条件：(1) 由 Q(x) 所唯一确定的在全平面上的单值解析函数 Q(z) 仅有有 限个奇点，其中在正实轴上最多有有限个单极点； (2) 当 z →0 和 z → 时， z Q(z)  一致地趋于零。 解法：（1）先考虑在正实轴上没有奇点的情况。 由于 −1 z 是多值函数，它的支点是 z = 0 和 z =  ，我们沿正实轴作割 线，并考虑单值分支 0  arg z  2 ， 因此规定上岸 ( )1 l 有 arg z = 0 ，则在 下岸 ( ) 2 l 有 arg z = 2 . 取闭积分路 径 C 如左图所示，因此           =     = + + +       0 arg 2 -1 -1 -1 ( )d ( )d 2 Res ( ) 1 2 z C l C l C z Q z z z Q z z i z Q z R 当取极限 R → , → 0 时