重点卓点 第十章二阶线性偏微分方程的分类 重点:二阶线性偏微分方程的基本概念; 分类方法和偏微分方程的标准化 难点:常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法; 偏微分方程求解。 本章知识点提要: 1本章主要描述了二阶线性偏微分方程的分类方法 从理论上证明了,对于二阶线性偏微分方程 -+E(x,y) 若设判别式为A=Bx-44xy(xy,则二阶线性偏微分方 程分为三类 当△>0时,方程称为双曲型 当△=0时,方程称为抛物型; 当△<0时,方程称为椭圆型; 2二阶线性偏微分方程的标准化 通过自变量变换使得二阶线性偏微分方程转化为标准 类型.其变换对应于特征线方程: dy)-Bdy 该常微分方程的特征曲线族分别对应于(1)两个实函 数族;(2)一个实函数族;(3)一对共轭复函数族 (1)双曲型偏微分方程 因为双曲型方程对应的判别式△=B-4C>0,所以特征曲 线是两族不同的实函数曲线,通过自变量变换,则原偏微分 方程变为下列形式 a'r 称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式 (2)抛物型偏微分方程:判别式△=0,特征曲线是一族 实函数曲线重点难点 第十章 二阶线性偏微分方程的分类 重点：二阶线性偏微分方程的基本概念； 分类方法和偏微分方程的标准化. 难点：常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法； 偏微分方程求解 。 本章知识点提要： 1 本章主要描述了二阶线性偏微分方程的分类方法. 从理论上证明了，对于二阶线性偏微分方程 2 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) u u u u u A x y B x y C x y D x y E x y F x y u G x y x x y y x y      + + + + + =       若设判别式为 2  = − B x y A x y C x y ( , ) 4 ( , ) ( , ) ，则二阶线性偏微分方 程分为三类： 当  0 时，方程称为双曲型; 当 = 0 时，方程称为抛物型; 当  0 时，方程称为椭圆型; 2 二阶线性偏微分方程的标准化 通过自变量变换使得二阶线性偏微分方程转化为标准 类型. 其变换对应于特征线方程： d d 2 ( ) 0 d d y y A B C x x − + = 该常微分方程的特征曲线族分别对应于（1）两个实函 数族；（2）一个实函数族；（3）一对共轭复函数族． （1）双曲型偏微分方程 因为双曲型方程对应的判别式 2  = −  B AC 4 0 ，所以特征曲 线是两族不同的实函数曲线，通过自变量变换，则原偏微分 方程变为下列形式 2 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) u D u E u F G              = + + −   称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式. （2）抛物型偏微分方程：判别式 = 0 ，特征曲线是一族 实函数曲线．