习题5.2 L'Hospital法则 对于 f(x) x→a+g(x) 的情况证明 L'Hospital法则 证设Im(x)=+0,则vG>0360×x6(aa+6()>G+1 首先考虑lmf(x)=limg(x)=0的情况,补充定义f(0)=g(0)=0, 则∫(x).g(x)在[a,d连续,满足 Cauchy中值定理条件。当x∈(a,a+。)时 ∫(x)f(x)-f(a)f( 8(x)g(x)-g(a)g(5) 所以 = =+00。 再考虑img(x)=∞的情况,任取x∈(a,a+δ),再取0<a1<x-a, 使得当 x∈(a,a+ 80/J(x)5,于是由 6)时,max/5) 8(x)2 g()s(x)1/(x)-f(x)x=1-S(x1f(5)fx, f(x) g(x)g(x)-g(o) g(x) g(x)g5 g(x) 可得当x∈(a,a+)时 f(x) g(x) 所以 f(x)习 题 5.2 L'Hospital 法则 ⒈ 对于 ( ) lim ( ) x a f x → + g x ′ = +∞ − ∞ ′ 或 的情况证明 L'Hospital 法则。 证 设 ( ) lim ( ) x a f x → + g x ′ = +∞ ′ ，则 '( ) 0, 0, ( , ), 1 '( ) f x G x a a g x ∀ > ∃δ > ∀ ∈ +δ > G + 。 首先考虑 lim ( ) lim ( ) = 0的情况，补充定义 ， x a x a f x g x → + → + = f g (0) = (0) = 0 则 f x( ), g(x)在[ , a d ]连续，满足 Cauchy 中值定理条件。当 x a ∈( , a +δ )时 ( ) ( ) ( ) '( ) , ( ) ( ) ( ) '( ) f x f x f a f G a x a g x g x g a g ξ ξ δ ξ − = = > < < < − + ， 所以 ( ) lim ( ) x a f x → + g x = +∞ 。 再考虑 lim ( ) 的情况，任取 x a g x → + = ∞ 0 x a ∈( , a +δ )，再取 1 0 0 < < δ x − a， 使得当 1 x a ∈( ,a +δ )时， 0 0 ( ) ( ) 1 max{| |,| |} ( ) ( ) 2 g x f x g x g x ≤ ，于是由 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) [1 ] [1 ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) f x g x f x f x f x g x f f x g x g x g x g x g x g x g g x ξ 0 ξ − = − + = − + − ， 可得当 1 x a ∈( ,a +δ )时 ( ) 1 1 | | ( 1) ( ) 2 2 2 f x G G g x ≥ + − = ， 所以 ( ) lim ( ) x a f x → + g x = +∞ 。 109