(m,(p)=整数=0o整数 p(x)=整数,(q-py)m=(pnm=k=n m-k≠n→f(0)=整数 可知f(x)及其直到2n+2阶导数在x=0与x=z时取整数值。定义 F(x)=f(x)-f(2(x)+f((x)-…+(-1)"f2n(x), 则F(x)在x=0与x=丌时取整数值。由 d(f(x)sin x-F(x)cos x)=(F"(x)+F()sinx=f(x)sinx dx 可知 Jo f(x)sin xdx= F(0)+F() 是整数。由于当0<x<与n充分大时, <tursinx< 从而 0<.f(x)sin xdx<1 产生矛盾,所以x是无理数。( )( ) 0 0 ! k n x k n x n k = ⎧ ≠ = ⎨ ⎩ = n ，( ) ( ) 0 ( ) m k n x q px − = − =整数 ⇒ f ( ) m (0) =整数； ( ) = ( ) k n n x p x =π ⋅ 整数，( )( ) 0 ( ) ( )! m k n x n mk n q px p n mk n π − = ⎧ − ≠ − = ⎨ ⎩ − − = ⇒ f ( ) m (0) =整数。 可知 及其直到 阶导数在 xf )( 2n + 2 x = 0与 x = π 时取整数值。定义 )()1()()()()( )2( )4( )2( xfxfxfxF xf nn L −+−+−= ， 则 在xF )( x = 0与 x = π 时取整数值。由 ( '( )sin ( )cos ) ( "( ) ( ))sin ( )sin d F x x Fx x F x Fx x f x dx − =+ = x， 可知 ∫ += π π 0 FFxdxxf )()0(sin)( 是整数。由于当0 x << π 与n充分大时， π π 1 ! < sin)(0 << n q xxf nn ， 从而 0 0 ( )sin f x xdx 1 π < < ∫ ， 产生矛盾，所以π 是无理数。 8