(=+1)(=-4) 显见c1=0,故Res(=)]=0.(注也可利用规则v) 12.计算下列各积分,C为正向圆周 2(2+)(+2)2,C=3 e=dz, C d(n为一整数),C|二}r 解1)函数 +1)2(x4+2) 在|二=3的外部,除∞点外没有其他奇点,因此根据定理二与规则 d==-2ri Resf(z),oo]=2ri Reslf()-,0 (z2+1)2(x24+2) 2Ti Res[ (1+=2)2(1+2=4) ,0] =2n1 2)f()=,e有奇点,z=-1,z=0,z=-1为一级极点,而z=0为本性奇点,在24k+内展 开f(),则 )=-2 -c1=1.,故原积分=2m(c,)=-2m 3)当n=1时, d=2 i Res[f(=)-1=2mi:当n≠1时, 1+z1-n=2"(1--n+-27+…)=z"-1+一n+ 13计算下列积分 5+3sin e d0(a>b>0):3)( ) ( ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⋅ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + = + − = z z z z z z z f z 4 z 1 1 1 1 1 4 1 4 4 4 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + z z z z z z 4 1 1 · 1 1 1 1 4 1 1 1 1 4 4 6 6 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + ... 4 16 ... 1 1 1 · 1 1 2 4 6 2 z z z z z 显见c−1 = 0,故 Res[f ( )z ,∞] = 0 .（注也可利用规则 IV）。 12．计算下列各积分，C 为正向圆周。 1） 15 2 2 4 3 , :| | 3 ( 1) ( 2) C z dz C z z z = + + v∫ ； 2） 3 1 1 z C z e dz + z v∫ ，C :| z |= 2 ； 3） 2 1 n n C z dz + z v∫ （ n 为一整数），C z :| |= r >1。 解 1）函数 15 2 2 4 ( 1) ( 2) z z z + + 3 在| | z = 3的外部，除 ∞点外没有其他奇点，因此根据定理二与规则 IV， 15 2 2 4 3 2 2 2 4 3 1 1 2 iRes[ ( ), ] 2 iRes[ ( ) ,0] ( 1) ( 2) 1 2 iRes[ ,0] 2 i (1 ) (1 2 ) C z dz f z f z z z z z z z π π π π = − ∞ = + + = = + + v∫ 2） ( ) z e z z f z 3 1 1+ = 有奇点， z = −1， z = 0 ， z = −1为一级极点，而 z = 0 为本性奇点，在 2 <| z |< +∞内展 开 f (z) ，则 ( ) z z e z z e z z z f z 3 1 2 1 · 1 1 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − ... 2! 1 1 ... 1 1 1 1 2 2 2 z z z z z = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − − ... 2! 1 1 ... 1 1 1 1 2 2 2 z z z z z z ... 1 3 1 2! 2 1 = + − + z z 得 , 3 1 − c−1 = 故原积分 πi( ) c πi 3 2 = 2 −1 = − . 3）当n =1时， 2 2 iRes[ ( ), 1] 2 i 1 C z dz f z z = − π π + v∫ = ；当 n ≠1时， 2 2 1 1 1 (1 ) 1 1 1 n n n n n n n n n z z z z z z z z z − = = − + + = − + + + + " " 知c−1 = 0 ，故 2 0 1 n n C z dz z = + v∫ 。 13 计算下列积分 1) 2 0 1 5 3sin d π θ + θ ∫ ； 2） 2 2 0 sin cos d a b π θ θ + θ ∫ (a b > > 0) ； 3） 2 2 1 (1 ) dx x +∞ −∞ + ∫ ； - 6 -