(2)f(4)=0→∫(孔)=0 证(1)因为Ax=Ax→Ax=Xx(k=1,2,…) 所以f(4)x=cEx+c1Ax+c2A2x+…+cnA"x cox+c1λx+c2x+…+cn1x=f()x (2)f(4)=0→∫()x=f(4)x=Ox=0→f(1)=0(:x≠0) [注]一般结论:着A的全体特征值为λ1,λ2,…,凡则∫(A)的全体特征值 为∫(λ1),f(λ2),…,f(λn) 例3设A3x的特征值为λ1=1,孔2=2,气3=-3,求de(A-3A+E) 解设∫(t)=t3-3t+1,则f(A4)=A3-34+E的特征值为 ∫(41)=-1,∫(2)=3,∫(13)=-17 故detA3-34+E)=(-1)·3·(-17)=51 定理3设An的互异特征值为λ1,2,…,λn,对应的特征向量依次为 P,P2…,pn,则向量组p1,P2,…,Pn线性无关 证采用数学归纳法 m=1时,P1≠0→P1线性无关 设m=l时,P1,…,P线性无关,下面证明p1;…,P1,P+线性无关 设数组k1,…,k1,k+使得 k1P1+…+kP1+k+1P+1=0 左乘A,利用4p1=p1可得 k11p1+…+k11P1+k+1+PD+=0(2)4 (2) f (A) = O  f ( ) = 0． 证 (1) 因为 Ax x A x x k k =   =  （ k = 1,2,  ） 所以 f A x c E x c Ax c A x c A x m = + + ++ m 2 0 1 2 ( ) c x c x c x c x f x m m ( ) 2 = 0 + 1 + 2 ++  =  (2) f (A) = O  f ( )x = f (A)x = Ox = 0  f ( ) = 0 ( x  0) [注] 一般结论：若 A 的全体特征值为    n , , , 1 2  ,则 f (A) 的全体特征值 为 ( ), ( ), , ( ) 1 2 n f  f   f  ． 例 3 设 A33 的特征值为 1 = 1, 2 = 2, 3 = −3 , 求 det( 3 ) 3 A − A+ E ． 解 设 ( ) 3 1 3 f t = t − t + , 则 f (A) = A − 3A+ E 3 的特征值为 f (1 ) = −1, f (2 ) = 3, f (3 ) = −17 故 det( 3 ) ( 1) 3 ( 17) 51 3 A − A+ E = −   − = 定理 3 设 Ann 的互异特征值为    m , , , 1 2  , 对应的特征向量依次为 p p pm , , , 1 2  , 则向量组 p p pm , , , 1 2  线性无关． 证 采用数学归纳法． m = 1 时, p1  0  p1 线性无关． 设 m = l 时, p pl , , 1  线性无关, 下面证明 1 1 , , , p  pl pl+ 线性无关． 设数组 1 1 , , , k  kl kl+ 使得 k1 p1 ++ kl pl + kl+1 pl+1 = 0 (1) 左乘 A , 利用 Api = i pi 可得 k11 p1 ++ kll pl + kl+1l+1 pl+1 = 0 (2)