可以为-0,6可以为+四)内连续，一)存在（或者为-0，或者为+，但不为四 Iimf)存在（或者为+o,或者为0，但不为o).分别记它们为f-0)和f+0),且 f-o)f(+o)<0.此时零点定理同样成立. 例33设函数f)在[a,上连续，x∈[a,b创，4>0(i=l,2,n),且∑=1.试 证至少存在一点E∈(a,b)使得f5)=4fx)+5,fx)++1,f(x,) 分析用介值定理来证明，只需证明4)+f)++,x,)介于fx)的最大值与 最小值之间即可. 证明由于函数f(x)在[a,b)上连续，所以由最值定理可知fx)的最大值与最小值存 在，令M=max{fx)川xe[a,b;,m=min{fx)lxe[a,b}，于是对任何x∈[a,b]都有 msfx)sM.由于x∈a,j,4>0(i=l2n.所以 m=∑m,s∑，f)s∑M,=M 从而由介值定理知至少存在一点Ee(a,b)使得f⑤)=1f(x)+5,f(x)++1.f(x,).证毕. 注利用闭区间上的连续函数的性质证明与介值相关的命题，通常有两种方法： (1)直接法（利用介值定理和最值定理）. 解题步骤：a,从要证的等式中整理出连续函数fx)所需取得的值f八5)：b.说明f(5) 介于x)在相应区间上的最大值与最小值之间：c.利用介值定理得到命题的结论.如例33. (2)间接法（利用零点定理）. 解题步骤：a。作辅助函数：将要证的等式整理为左边=右边=0的形式，而左边设为辅 助函数.b.寻找区间，使辅助函数在该区间端点处的函数值异号，用零点定理，如例32. 可以为 −，b 可以为 + ）内连续， lim ( ) x a f x → + 存在（或者为 − ，或者为 + ，但不为  ）， lim ( ) x b f x → − 存在（或者为 + ，或者为 − ，但不为  ）．分别记它们为 f ( ) − 和 f ( ) + ，且 f f ( ) ( ) 0 −  +  ．此时零点定理同样成立． 例 33 设函数 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续， [ , ] i x a b  ， 0 i t  （ i n =1,2, , ），且 0 1 n i i t =  = ．试 证至少存在一点  ( , ) a b 使得 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n f t f x t f x t f x  = + +  + ． 分析 用介值定理来证明，只需证明 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n t f x t f x t f x + +  + 介于 f x( ) 的最大值与 最小值之间即可． 证明 由于函数 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续，所以由最值定理可知 f x( ) 的最大值与最小值存 在，令 M f x x a b =  max{ ( ) | [ , ]} ， m f x x a b =  min{ ( ) | [ , ]} ，于是对 任何 x a b [ , ] 都有 m f x M   ( ) ．由于 [ , ] i x a b  ， 0 i t  （ i n =1,2, , ）．所以 1 1 1 ( ) n n n i i i i i i i m mt t f x Mt M = = = =   =    ， 从而由介值定理知至少存在一点  ( , ) a b 使得 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n f t f x t f x t f x  = + +  + ．证毕． 注 利用闭区间上的连续函数的性质证明与介值相关的命题，通常有两种方法： （1）直接法（利用介值定理和最值定理）． 解题步骤：a．从要证的等式中整理出连续函数 f x( ) 所需取得的值 f ( )  ；b．说明 f ( )  介于 f x( ) 在相应区间上的最大值与最小值之间；c．利用介值定理得到命题的结论．如例 33． （2）间接法（利用零点定理）． 解题步骤：a．作辅助函数：将要证的等式整理为左边=右边= 0 的形式，而左边设为辅 助函数．b．寻找区间，使辅助函数在该区间端点处的函数值异号，用零点定理，如例 32．