第6期 李洋，等：连续小波过程神经网络及其仿真研究 79· xm()}为输入空间的任意函数，则x:()可表示为 △w=- =y- 〔272台 W=bW,G∈R △y= 同理，w,()也可以由同一组标准正交基函数展开 aE=.(y.dw. 为 g=. aE=.(y- da g0=20b(W.w5∈R 由数学分析理论知，对Aε>0,3L:,满足 △6=- =(y- s,xw-∑dbw≤e (10) 文中神经网络的隐层激励函数采用Morlet小 令L=max{L1,L2,Ln/,则： 波，它是余弦调制的高斯波.Morlet小波在时、频域 x()= bd,∈R, 局部特性都较好，表示为 wg()= 2gbW,wg∈R 11) 根据正交函数的性质，有 2.3学习算法描述 So(brodr= 1,k=1 连续小波过程神经网络学习算法可完整描述为 0,k≠1 因此，式6可以转化为 1)选取一组合适的正交基函数bs()(k=1,2, ·,),将连续小波过程神经网络的输入函数矢量 X()和输入层与隐层之间的连接权函数w,()(i= 1,2,n;j=1,2,…m展开： 2.2学习过程 2)初始化连续小波过程神经网络待训练参数 给定P个学习样本函数：(x1(),x2(), w、y、a和b; xm(),dp,p=1,2,…P:其中，xm()的第1个下 3)给定网络学习误差精度￡，学习迭代次数s= 标表示学习样本序号，第2个下标表示输入函数向 0,最大学习迭代次数M,学习速率a、B、Y、: 量分量序号；dp为对应于输入(x(),xm(), 4)根据式8计算连续小波过程神经网络的误 xm)网络的期望输出.则连续小波过程神经网络的 差函数E,如果E<e或s>M则转6)； 误差函数可表示为 5)根据式9)的规则修正连续小波过程神经网 E=2(do) 络待训练参数w、y、a和b,否则，s=s+1,转4)； 6)输出学习结果，结束。 3航空发动机滑油系统仿真 (8) 为降低维修成本，世界各大航空公司均采取了 根据梯度下降算法，连续小波过程神经网络的 “视情维修”的维修方式，即根据发动机状态来确定 待训练参数调整规则为 发动机是否需要返厂修理及进行何种维修，这样可 w9(s+1)=w5(+aùw奇. 以在保障安全的前提下，大大提高发动机的装机使 y(s+1)=y(+卧y, 用时间，降低运营成本.航空发动机的滑油系统是保 9) g(s+1)=a(+0a, 证发动机正常工作的一个重要系统.滑油系统的故 人b(s+1)=b(sy+4b 障在发动机各类故障中占较高的比例，并且滑油具 式中：aB、I为学习速率，s为迭代次数.为了简便 有循环使用的特点，携带着发动机大量内部信息.通 过对滑油系统进行监测和技术诊断，可提前发现发 起见，记u=（,王wi/a,则△w5A八 动机的内部故障，减少不必要的零部件更换，同时能 △4△b可分别表示为 够进行故障的早期预报，避免恶性事故的发生，保证 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.netx n ( t) }为输入空间的任意函数 ,则 xi ( t) 可表示为[5 ] xi ( t) = ∑ ∞ k = 1 c k i bk ( t) , c k i ∈R. 同理 , wij ( t) 也可以由同一组标准正交基函数展开 为 wij ( t) = ∑ ∞ k = 1 w k ij bk ( t) , w k ij ∈R. 由数学分析理论知 ,对 Aε> 0 , ϖL i ,满足 Sup 0 ≤t ≤T xi ( t) - ∑ L l = 0 c l ibl ( t) ≤ε. 令 L = max{ L1 , L2 , …, L n } ,则 : xi ( t) = ∑ L k = 1 c k i bk ( t) , c k i ∈R , wij ( t) = ∑ L l = 1 w l ij bl ( t) , w l ij ∈R. 根据正交函数的性质 ,有 ∫ T 0 bk ( t) bl ( t) dt = 1 , k = l , 0 , k ≠l. 因此 ,式(6) 可以转化为 y = g ∑ m j = 1 vψj ∑ n i = 1 ∑ L k = 1 c k i w k ij - bj aj . (7) 212 学习过程 给定 P 个学习样本函数 : ( x p1 ( t) , x p2 ( t) , …, x pn ( t) , dp ) , p = 1 ,2 , …, P;其中 , x pi ( t) 的第 1 个下 标表示学习样本序号 ,第 2 个下标表示输入函数向 量分量序号; dp 为对应于输入 ( x p1 ( t) , x p2 ( t) , …, x pn ) 网络的期望输出. 则连续小波过程神经网络的 误差函数可表示为 E = 1 2 ∑ P p = 1 ( y p - dp ) 2 = 1 2 ∑ P p = 1 g ∑ m j = 1 vψj ∑ n i =1 ∑ L k = 1 c k pi w k ij - bj aj - dp 2 . (8) 根据梯度下降算法 ,连续小波过程神经网络的 待训练参数调整规则为 w k ij (s + 1) = w k ij (s) +αΔw k ij , vj (s + 1) = vj (s) +βΔvj , aj (s + 1) = aj (s) +γΔaj , bj (s + 1) = bj (s) +ηΔbj . (9) 式中 :α、β、γ、η为学习速率 ,s 为迭代次数. 为了简便 起见 , 记 u = ( ∑ n i = 1 ∑ L k = 1 c k pi w k ij - bj) / aj ,则Δw k ij 、Δvj 、 Δaj 、Δbj 可分别表示为 Δw k ij = - 9 E 9w k ij = - ( y - d) ∑ m j =1 vψj ′( u) ∑ n i =1 ∑ L k =1 c k pi aj , Δvj = - 9 E 9vj = - ( y - d)ψ( u) , Δaj = - 9 E 9aj = - ( y - d) ∑ m j =1 vψj ′( u) - u aj , Δbj = - 9 E 9bj = - ( y - d) ∑ m j =1 vψj ′( u) - 1 aj . (10) 文中神经网络的隐层激励函数采用 Morlet 小 波 ,它是余弦调制的高斯波. Morlet 小波在时、频域 局部特性都较好 ,表示为 ψ( x) = cos 1175 x - b a exp - x - b a 2 / 2 . (11) 213 学习算法描述 连续小波过程神经网络学习算法可完整描述为 1) 选取一组合适的正交基函数 bk ( t) ( k = 1 , 2 , …, L) ,将连续小波过程神经网络的输入函数矢量 X( t) 和输入层与隐层之间的连接权函数 wij ( t) ( i = 1 ,2 , …, n; j = 1 ,2 , …, m) 展开; 2) 初始化连续小波过程神经网络待训练参数 w k ij 、vj 、aj 和 bj ; 3) 给定网络学习误差精度ε,学习迭代次数 s = 0 ,最大学习迭代次数 M ,学习速率α、β、γ、η; 4) 根据式(8) 计算连续小波过程神经网络的误 差函数 E,如果 E <ε或 s > M 则转 6) ; 5) 根据式(9) 的规则修正连续小波过程神经网 络待训练参数 w k ij 、vj 、aj 和 bj ,否则 ,s = s + 1 ,转 4) ; 6) 输出学习结果 ,结束. 3 航空发动机滑油系统仿真 为降低维修成本 ,世界各大航空公司均采取了 “视情维修”的维修方式 ,即根据发动机状态来确定 发动机是否需要返厂修理及进行何种维修 ,这样可 以在保障安全的前提下 ,大大提高发动机的装机使 用时间 ,降低运营成本. 航空发动机的滑油系统是保 证发动机正常工作的一个重要系统. 滑油系统的故 障在发动机各类故障中占较高的比例 ,并且滑油具 有循环使用的特点 ,携带着发动机大量内部信息. 通 过对滑油系统进行监测和技术诊断 ,可提前发现发 动机的内部故障 ,减少不必要的零部件更换 ,同时能 够进行故障的早期预报 ,避免恶性事故的发生 ,保证 第 6 期 李 洋 ,等 :连续小波过程神经网络及其仿真研究 · 97 ·