故考虑X中的特殊序列(x,x,…).记它所在的等价类为X.其全体记为0,容易知道 是X的线性子空间.我们证明X与X等距同构,X在X中稠密.实际上定义 T:X→X0,xx,其中x=(x,x,…), 则T是一一的,到上的并且 7x|‖x‖lim‖xlx‖,vx∈X 所以T是等距的映射.V∈X,不妨设=(x),其中xn∈X.对于每个n,记 =(x,xn…),则x∈X。,由于(x,)是 Cauchy序列所以vE>0,3n使得k,n≥n时 kE.从而 -x‖limx4-xn|E‖,k≥n (6) 即limx=5 最后证明是完备的.设=(xn)是 Cauchy序列,E>0,3k,当k,k'≥k时, 14r-srlimxi-xp< 对于每个,由以上所证,存在=(x,x…)∈使得 x|=im‖ k,Vk≥1 令=(x1,x2…),由(7),当n足够大时 x-x,图x-x+1x元-x。1+1x20-xk2+x元-x,+ 所以k,k足够大时,‖x4-x‖可任意小,于是(x4)是 Cauchy序列,5∈X.现在由(6), (7)得到 im5-5|klim‖k-Xk|+lim‖1x-5=0 总之,是X的完备化空间 若X是包含X的另一完备空间,X与x"的子空间等距同构,则v∈X,不妨设 ∈X使得→此时x∈X从而x∈X’,于是由的完备性,必有’∈X使得αξ αξ α α α ξ ~ lim lim ~ ~= = = = →∞ →∞ n n n n x x ． 故考虑 X 中的特殊序列(x, x,") ．记它所在的等价类为 x ~ ．其全体记为 0 ~ X ，容易知道 0 ~ X 是 X ~ 的线性子空间．我们证明 X 与 0 ~ X 等距同构， 0 ~ X 在 X ~ 中稠密．实际上定义 0 ~ T : X → X ， x x 6 ~ ，其中 ( , , ) ~ x = x x " ， 则T 是一一的，到上的并且 || lim || || || || ~ ||Tx || || x x x n = = = →∞ ，∀x ∈ X ． 所以 T 是等距的映射． X ~ ~ ∀ξ ∈ ，不妨设 ( ) ~ n ξ = x ，其中 xn ∈ X ．对于每个 n ，记 ( , , ) ~xn = xn xn " ，则 0 ~ ~ xn ∈ X ，由于 ( ) n x 是 Cauchy 序列所以 ∀ε > 0 ， 0 ∃n 使得 0 k,n ≥ n 时 || − ||< ε k n x x ．从而 ξ − = − ≤ ε →∞ || lim || || ~ ~ || k n n k x x x ‖， 0 k ≥ n （6） 即 ξ ~ ~ lim = →∞ k k x ． 最后证明 X ~ 是完备的．设 ( ) ~ k kn ξ = x 是 Cauchy 序列，∀ε > 0 ， 0 ∃k ，当 0 k,k′ ≥ k 时， ξ −ξ = − ′ < ε →∞ ′ || lim || || ~ ~ || kn k n k k k x x ． 对于每个ξ k ~ ，由以上所证，存在 0 ~ ( , , ) ~ xk = xk xk " ∈ X 使得 k x x x kn k n k k 1 || lim || || ~ ~ || − = − < →∞ ξ ，∀k ≥1． （7） 令 ( , , ) ~ ξ = x1 x2 " ，由（7），当 n 足够大时 k x x k x x x x x x x x k k k kn kn k n k n k kn k n ′ − ′ ≤ − + − ′ + ′ − ′ < + − ′ + 1 || || 1 || || || || || || || || 所以 k ，k′ 足够大时，|| || k k x − x ′ 可任意小，于是( ) k x 是 Cauchy 序列， X ~ ~ ξ ∈ ．现在由（6）， （7）得到 || 0 ~ ~ || lim || ~ ~ || lim || ~ ~ lim || − ≤ − + − = →∞ →∞ →∞ ξ ξ ξ k ξ k k k k k k x x ． 总之， X ~ 是 X 的完备化空间． 若 X′ ~ 是包含 X 的另一完备空间， X 与 X ′ ~ 的子空间等距同构，则 X ~ ~ ∀ξ ∈ ，不妨设 0 ~ ~ xn ∈ X 使得 ξ ~ ~ xn → ．此时 xn ∈ X 从而 xn ∈ X ′ ~ ~ ．于是由 X ′ ~ 的完备性，必有 ′∈ X ′ ~ ~ ξ 使得