第三章可测函数 在给定了一个测度空间以后,由定义在这个空间上的一个函数可以自然地产生出各 种各样的集为用测度论的方法研究这个函数我们自然要求这些集是可测的.由此产生 了可测函数的概念在定义积分时候,对被积函数的一个基本要求就是这个函数必须是可 测的我们将看到可测函数是一类很广泛的函数特别地,欧氏空间R”上的 Lebesgue可 测函数是比连续函数更广泛的一类函数.而且可测函数类对极限运算是封闭的,这将使我 们在讨论积分的时候更加便利 本章§3.1和§32讨论可测函数的定义,可测函数的基本性质和收敛性.§33在欧 氏空间R"上讨论可测函数与连续函数的联系 §3.1可测函数的基本性质 教学目的定义在测度空间上的函数可以自然产生出各种各样的集为用 测度论的方法研究这个函数,特别是在定义积分时,必须要求这些集是可测 的.由此产生了可测函数的概念本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性 本节要点可测函数有不同的等价定义可测函数是一类很广泛的函数 并且有很好的运算封闭性.可测函数可以用特殊的可测函数即简单函数逼近 这是可测函数的构造性特征,在研究可测函数,特别是在积分理论中有重要 应用 本节和以后若无特别申明,“函数”一词均指取值于R的广义实值函数,取值于R 的函数仍称为实值函数.在§21我们已给出可测空间的定义这里回顾一下.称二元组 合(X,分)为一可测空间,若X是一个非空集,牙是X上的σ一代数.称中的集为 丌-可测集或者简称为可测集. 可测函数的定义与等价特征 定义1设(X,)为一可测空间,E是一个可测集.∫E→R为定义在E上的 函数.若对任意实数a,总有 x∈E:f(x)<a}∈丌, (图1-1是X=R时的示意图)则称∫为E上的可测函数(简称为E上的可测函数) 特别地,X上的可测函数也称为可测空间(X,)上的可测函数(X,)上的可测函数73 第三章 可测函数 在给定了一个测度空间以后, 由定义在这个空间上的一个函数可以自然地产生出各 种各样的集. 为用测度论的方法研究这个函数,我们自然要求这些集是可测的. 由此产生 了可测函数的概念.在定义积分时候, 对被积函数的一个基本要求就是这个函数必须是可 测的.我们将看到可测函数是一类很广泛的函数. 特别地, 欧氏空间 n R 上的 Lebesgue 可 测函数是比连续函数更广泛的一类函数. 而且可测函数类对极限运算是封闭的, 这将使我 们在讨论积分的时候更加便利. 本章 3.1 和 3.2 讨论可测函数的定义, 可测函数的基本性质和收敛性. 3.3 在欧 氏空间 n R 上讨论可测函数与连续函数的联系. 3.1 可测函数的基本性质 教学目的 定义在测度空间上的函数可以自然产生出各种各样的集.为用 测度论的方法研究这个函数, 特别是在定义积分时, 必须要求这些集是可测 的. 由此产生了可测函数的概念.本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性 质. 本节要点 可测函数有不同的等价定义. 可测函数是一类很广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用特殊的可测函数即简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征, 在研究可测函数, 特别是在积分理论中有重要 应用. 本节和以后若无特别申明, 函数 一词均指取值于 ∗ R 的广义实值函数, 取值于 1 R 的函数仍称为实值函数. 在 2.1 我们已给出可测空间的定义. 这里回顾一下. 称二元组 合 (X , F ) 为一可测空间, 若 X 是一个非空集, F 是 X 上的σ − 代数. 称F 中的集为 F -可测集或者简称为可测集. 可测函数的定义与等价特征 定义 1 设 (X , F ) 为一可测空间, E 是一个可测集. f : E → ∗ R 为定义在 E 上的 函数. 若对任意实数 a, 总有 {x ∈ E : f (x) < a}∈F , (图 1 1 是 1 X = R 时的示意图) 则称 f 为 E 上的F -可测函数(简称为 E 上的可测函数). 特别地, X 上的可测函数也称为可测空间(X , F ) 上的可测函数. (X , F ) 上的可测函数