(1)x,以x-y (2)f(x,y) (3)f(x,y)= 0<y<x (4)f(x,y) 0其它点 解(1)由于f(x,k)=x=1-依赖于k,所以当(x,y)趋于(0)时函 x+kx 1 数极限不存在 (2)f(x,kx)= 依赖于k,所以当(x,y)趋于(0.0时函数 (kx)21+k 极限不存在 (3)由于f(x,x)=1,所以当(x,y)沿曲线y=趋于(00)时,函数极 限为1,而当(x,y)沿x轴趋于(0.0)时,函数极限为0,所以当(x,y)趋 于(0,0)时函数极限不存在 (4)利用平均值不等式 可得 If(x,y)Fx+ xy|3→>0,(x,y)→(0,0) Lay 所以当(x,y)趋于(0,0)时函数极限存在且为0。 对多元函数证明极限唯一性,局部有界性,局部保序性和局部 夹逼性 证(1)假设imf(x)=A,imf(x)=B,则vE>0, 361>0,Vx(04x-x0ka1):|f(x)-4|kE 362>0,x(04x-x0k2):|f(x)-BkE 取δ=min{61,2}>0,当04x-x0kδ,成立 IA-Bksf(x)-A+lf(x)-Bk 由于E为任意正数,所以A=B,即极限唯 (2)假设limf(x)=A,则对于E=1, x→x（1） x y x y f x y + − ( , ) = ； （2） 2 2 ( , ) x y xy f x y + = ； （3） （4） ⎩ ⎨ ⎧ < < = 0 ; 1, 0 , ( , ) 2 其它点 y x f x y 4 8 3 3 ( , ) x y x y f x y + = 。 解（1）由于 1 ( , ) 1 x kx k f x kx x kx k − − = = + + 依赖于 k，所以当 趋于 时函 数极限不存在。 (x, y) (0,0) （2） 2 2 2 ( , ) ( ) 1 kx k f x kx 2 x kx k = = + + 依赖于 k，所以当 趋于 时函数 极限不存在。 (x, y) (0,0) （3）由于 2 ( , ) 1 2 x f x = ，所以当(x, y)沿曲线 2 2 x y = 趋于 时，函数极 限为 1，而当 沿 x 轴趋于 时，函数极限为 0，所以当 趋 于 时函数极限不存在。 (0,0) (x, y) (0,0) (x, y) (0,0) （4）利用平均值不等式 = + 3 4 8 x y 3 8 8 4 4 8 4 1 3 2 1 2 1 x y x x y ≥ + + ， 可得 3 3 3 3 3 1 3 4 8 8 3 | | 4 | | 4 | ( , ) | | | 3 3 | | x y xy f x y xy x y xy = ≤ = + → 0,((x y, ) → (0,0)) ， 所以当(x, y)趋于(0,0) 时函数极限存在且为 0。 5． 对多元函数证明极限唯一性，局部有界性，局部保序性和局部 夹逼性。 证 （1）假设 f (x)=A, f (x)=B，则 0 lim x→x 0 lim x→x ∀ε > 0， 1 0 1 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( f x) − A|< ε ， 2 0 2 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( f x) − B |< ε 。 取δ δ = > min{ 1 2 ,δ } 0，当 0 0 | < − x x |< δ ，成立 | A B− |≤ − | ( f x) A| + | ( f x) − B |< 2ε ， 由于ε 为任意正数，所以 A=B，即极限唯一。 （2）假设 f (x)=A,则对于 0 lim x→x ε =1， 2