D0I:10.13374/j.issn1001-053x.2005.06.030 第27卷第6期 北京科技大学学报 Vol.27 No.6 2005年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.2005 基于小波的带Hilbert核的奇异积分方程的解法 崔丽敏”王义龙)廖福成”冯象初”唐远炎引 1)北京科技大学数力系，北京1000832)西安电子科技大学理学院，西安7100713)香港浸会大学计算机科学系，香港 摘要许多力学和工程问题都可以表示为第一类奇异积分方程.本文给出了带Hilbert核的 奇异积分方程的小波Galerkin算法.利用L[0,I)上的周期小波和Hilbert核的特点降低刚性矩 阵的维数；并且通过阙值使得矩阵更加稀疏，以减少计算量和节省存储空间.根据Hilbert核 的奇异性，通过Tikhonov正则化方法求解了所得到的刚性方程组，给出了算法的收敛性和数 值结果， 关键词周期小波；Galerkin方法：Tikhonov正则化方法：奇异积分方程 分类号0241.83 1引言 的形式特点，形成了计算奇异积分和求解积分方 程(4)的数值方法， 力学和工程技术中的许多问题都可以转化 本文将对方程式(1)在g)∈H的条件下用 为奇异积分方程的求解问题.利用小波Galerkin L([0,1)上的周期小波进行求解.与文献[2]不同 方法求解积分方程有很多优点，例如可以将刚度 的是本文进一步取小波函数作为基函数，将函数 矩阵稀疏化，可以进行预处理等，但当积分核奇 在小波空间分解，再根据周期小波多分辨分析的 异时，用小波Galerkin方法解奇异积分方程的计 特点将所得到的系数矩阵的维数降低.这样既降 算极为困难. 低了计算量又节省了计算机的存储空间.由 本文研究具有Hilbert核的奇异积分方程的 cot[π(x-]和L([0,1)上的周期小波的特点可知， 小波数值解法. 所得的离散方程组的解是不适定的，本文利用 f(x)cot[r-0小d-g0,0≤Kl (1) Tikhonov正则化求解了这个不适定方程组，同时 其中，fx)eH,(即周期为1的H6lder类函数)，gt) 根据需要加上阈值，形成了求解方程(1)的快速 已知，fx)为待求解函数.式(l)左端理解为Cauchy 简捷的数值计算方法，最后给出了一个计算实 主值积分，特别地： 例，以说明算法的有效性. f()cot(r)dx=limf)cot()dr. 文献[]给出在约束条件为： 2周期小波 90d=0 (2) 归一化条件为： 设(x)是适合多分辨分析的标准正交尺度函 f()dx-C (3) 数，x)是相应的紧支撑小波函数，分别满足下面 方程(1)有惟一解： 的双尺度方程： fx)--fq()cot[r(t-x)ldt+C. p(xF√2Eh,o(2x-n,x-V2Σg.p2x-m). 文献[2]考虑了带Hilbert核的奇异积分方程： {p,和{：分别是和W,的标准正交基.将尺 2 eot-ld=gt.0s(④ 度函数p(x)和小波函数x)在L([0,1)上周期化， 分别用(x)和x)来表示，即： 在q(t)∈H条件下，利用小波Galerkin算法取尺度 (x):=∑o(x+0,x:=∑+0. 函数作为基函数，再利用cot[x-/2]和小波函数 周期尺度函数空间和周期小波空间分别记为： 收稿日期：20041201修回日期：200501-17 基金项目：国家自然科学基金资助课题No.90304007) V,:=closedspan(1,,2-1), 作者简介：崔丽敏(1977一，女，博士研究生 W,:=closedspan=0,1,,2-1).第 卷 第 ‘ 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 介 基于 小波的带 核的奇异积分方程 的解法 崔丽 敏 ” 王 义 龙 ” 廖福 成 ‘， 冯 象初 ” 唐 远 炎 ” 北 京科技大学 数力系 ， 北 京 西 安 电子科技大 学 理 学 院 ， 西 安 香港浸 会大学计 算机 科学 系 ， 香港 摘 要 许 多 力 学和 工 程 问题 都 可 以表 示 为 第 一 类 奇 异积 分 方 程 本文 给 出 了带 核 的 奇 异 积 分方 程 的小波 算法 利 用 ， 上 的 周 期 小波 和 核 的特 点 降低 刚 性 矩 阵的维数 并且 通 过 闭值使得 矩 阵更加稀 疏 ， 以减 少计 算 量 和 节 省存储 空 间 根据 核 的奇异 性 ， 通 过 下 汕 正 则化 方法 求 解 了所得 到 的刚性 方程 组 ， 给 出 了算法 的收敛性和 数 值结果 关键词 周 期 小波 方 法 正 则化 方法 奇异积 分方程 分类号 引 言 力 学 和 工 程 技 术 中 的许 多 问题 都 可 以转 化 为奇 异 积 分 方程 的求解 问题 利 用 小波 方法求解积 分 方程 有 很 多优 点 ， 例 如 可 以将刚度 矩 阵稀 疏 化 ， 可 以进 行 预 处 理 等 但 当积 分 核 奇 异 时 ， 用 小波 方法 解 奇 异 积 分 方程 的计 算极 为 困难 本 文 研 究 具 有 核 的奇 异 积 分 方 程 的 小波数值 解 法 ， 工 ’ 二 一 山汗口 ， 、 其 中 ， 厂以 任私 即 周 期 为 的 类 函 数 ， 叮 已 知 ， 几 为待 求解 函数 式 左 端 理解 为 主 值积 分 ， 特别 地 工 ’ 。 ‘恤 一 兽工 ’ 一‘， 。 ，二 文 献 【 给 出在 约 束 条件 为 工 ’ 、 归一 化 条 件 为 工 ’ 、 方程 有 惟 一解 一 工 ’ 。 ，一 〕 文献 考 虑 了带 核 的奇异 积 分 方程 争伽 静 一 川， ， 。 ‘ 二 。 在贰 任从 条件下 ， 利用 小波 算法 取 尺 度 函数作 为基 函数 ， 再 利用 一 〕和 小波 函 数 收稿 日期 今 刁 修 回 日期 刁 一 基 金 项 目 国家 自然科学基金 资助 课题 作者简介 崔丽敏 一 ， 女 ， 博士 研究生 的形式特 点 ， 形 成 了计算 奇异积 分和 求解积 分 方 程 的数 值 方 法 本 文 将 对 方 程 式 在试 任 私 的 条 件 下 用 ， 上 的周 期小波进 行 求解 与文 献 不 同 的是本 文 进 一步取 小波 函数 作为基 函数 ， 将 函 数 在 小波 空 间分解 ， 再根 据 周 期 小波 多分 辨分 析 的 特 点将所 得 到 的系数矩 阵 的维 数 降低 这样 既 降 低 了 计 算 量 又 节 省 了 计 算 机 的 存 储 空 间 由 二 一 和 ， ， 〕 上 的周 期 小 波 的特 点 可 知 ， 所 得 的离散方程 组 的解 是 不 适 定 的 ， 本文 利用 比 正 则 化 求 解 了这 个 不 适 定 方程 组 ， 同时 根 据 需要 加 上 闽值 ， 形 成 了求解 方程 的快 速 简捷 的数值 计 算方 法 ， 最 后 给 出 了一 个 计 算 实 例 ， 以说 明算法 的有 效性 周 期 小 波 设势 是适 合 多分 辨 分 析 的标准 正 交尺度 函 数 ， 州沐是相 应 的紧支 撑 小波 函数 ， 分别满足 下 面 的双 尺 度 方程 势 一涯那洲 一 。 ， 沁 担艺肠诚 一 蜘 和 哟对 分 别 是 叱和 城 的标 准 正 交 基 将 尺 度 函 数尹 和 小波 函 数恻以 在 〔 ， 上 周 期化 代 分 别 用 乒 和 沁 来表 示 ， 即 卜和 ， 沁卜千杯 义十众 周 期 尺度 函 数 空 间和 周 期 小 波 空 间分 别记 为 科 必 ， 胜。 ， ， … ， 一 ， 琳 一 一 认 、 ， ， ， … ， ，一 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2005．06．030