cos'xsin xdx==. uda 例337计算~1 dx 解一作变量代换x=set,则ax= sect tanto,且当x=-2时,t=2r;当 √2时 于是 -21 这个积分也可以用凑微分的方法计算。 解二 arcsin x√x 例3.3.8计算∫。"-ed 解作变量代换u=√-e-,即x=-1m1-n2),则=4-dh,且当 1 0时,u=0;当x=h2时, 于是 - -du= hn(2+√3) 下面例3.3.9和例3.3.11的几何意义是明显的,它们往往可以用来简化积 分的计算。 例3.3.9设a>0,∫是[-a,a上的连续函数,则 (1)当∫是奇函数时, f(xdx=0 (2)当∫是偶函数时 f(x) 证设∫是奇函数,即f(-x)=-f(x),x∈[-a,a。于是 ∫f(xk=」f(x)tx+∫ 对上式右端第一个积分作换元x=-1,则有 f(x)dx= f(dr=-f()du     0 1 5 2 0 5 6 1 cos xsin xdx u du  。 例 3.3.7 计算     2 2 2 1 1 dx x x 。 解一 作变量代换 x  sect ，则 dx  sect tantdt ，且当 x  2 时，  3 2 t  ；当 x   2 时，  4 3 t  ，于是 sec ( tan ) 12 sec tan 1 1 4 3 3 2 4 3 3 2 2 2 2                  dt dt t t t t dx x x 。 这个积分也可以用凑微分的方法计算。 解二 12 1 arcsin 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2                           x x x d dx x x 。 例 3.3.8 计算    ln2 0 2 1 e dx x 。 解 作变量代换 x u e 2 1    ，即 ln(1 ) 2 1 2 x    u ，则 du u u dx 2 1  ，且当 x  0 时， u  0 ；当 x  ln 2 时， 2 3 u  ，于是 du u du u u e dx u x                  2 3 0 2 2 3 0 2 l n2 0 2 1 1 1 1 1 2 3 ln(2 3) 1 1 ln 2 1 2 3 0                u u u 。 下面例 3.3.9 和例 3.3.11 的几何意义是明显的，它们往往可以用来简化积 分的计算。 例 3.3.9 设 a  0 ， f 是 [a, a] 上的连续函数，则 （1）当 f 是奇函数时， ( )  0  a a f x dx ； （2）当 f 是偶函数时     a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) 。 证 设 f 是奇函数，即 f (x)   f (x)， x[a, a] 。于是   a a f (x)dx   0 ( ) a f x dx  a f x dx 0 ( ) 。 对上式右端第一个积分作换元 x  t ，则有          a a a f x dx f t dt f t dt 0 0 0 ( ) ( )( ) ( )