最值定理 定理3.4.2若函数f(x)在闭区间[ab上连续,则它在[a,b上必 能取到最大值与最小值,即存在和n∈[anb,对于一切x∈[anb成立 f()≤f(x)≤f() 证集合R,={f(x)|x∈ab]}是有界数集,所以必有上确界与下 确界,记 a=infR,, B=sup r 由于对任意给定的ε>0,存在x∈a,b,使得f(x)<a+E。于是取 En=(n=12,3…)相应地得到数列{xn},xn∈{a,b,满足 a≤f(xn)<a+-。最值定理 定理3.4.2 若函数 f x( ) 在闭区间 ba ],[ 上连续，则它在 ba ],[ 上必 能取到最大值与最小值，即存在ξ 和η ∈[,] a b ，对于一切 x∈[,] a b 成立 f f () () ξ ≤ x ≤ f ( ) η 。 证 集合Rf = { f ( )| [ , ] x x ab ∈ }是有界数集，所以必有上确界与下 确界，记 α inf = Rf ， β sup = Rf 。 由于对任意给定的ε > 0，存在 x∈[,] a b ，使得 f ( ) x < α + ε 。于是取 n ε = 1 n （n = 123 ,,,"）相应地得到数列{ xn }，xn ∈ ba ],[ ，满足 α ( ) n ≤ f x < 1 n α +