我们需要在W2中选取一组基a2,a3,使得σ限制在W2上的方阵表示 为 注意到W2=Ker(a2+1),故只要a2,a3满足aa2=-a3,便有aa3 所以任取a2= ∈W2,再 可知a关于(a1,a2,a3)的方阵表示为001 Exercise2设σ是n维复线性空间ⅴ上的线性变换,试证明存在可对 角化的线性变换r和幂零变换U,使得 且满足rU 如果已知σ在V的某个基下的矩阵是 试求出r和U,使得a=T+U。 解 设σ在V的某个基下的矩阵是A,特征多项式为 则存在可逆方阵P,使得P-1AP=diag(A1,A2,,A,),其中A为对应 特征根A的若当块,阶数为 diag(A1L, A2L, .,AgIP- p diag(A1- A1L, A A2l,,A-AD)P-1,并设D所对应的线性变换为,N所对应的线 性变换为U,则r可对角化 令n=mar(m1,n2,…,ns),则Nm=0,即υ是幂零变换。通过它们的 定义,显然有σ=r+U,且TU=r。 给定方阵A=22-1,计算得|-A=(X-2)(X-1) A=1对应的特征向量为0,=2对应的特征向量只有1 2 解方程(A-2D)x=1|,得到 200 于是P 10|,r的方阵表示为P02 1,u的方 0 阵表示为P000P-1我们需要在 W2 中选取一组基 α2, α3，使得 σ 限制在 W2 上的方阵表示 为 µ 0 1 −1 0 ¶ ，即 σα2 = −α3, σα3 = α2。 注意到 W2 = Ker(σ 2 + 1)，故只要 α2, α3 满足 σα2 = −α3，便有 σα3 = −σ 2α2 = α2。 所以任取 α2 =   1 1 0   ∈ W2，令 α3 = −σα2 =   −3 −3 −5   ∈ W2，再 取 α1 =   1 0 2   ∈ W1。 可知 σ 关于 (α1, α2, α3) 的方阵表示为   2 0 0 0 0 1 0 −1 0  。 Exercise 2 设 σ 是 n 维复线性空间 V 上的线性变换，试证明存在可对 角化的线性变换 τ 和幂零变换 υ，使得 σ = τ + υ, 且满足 τ υ = υτ。 如果已知 σ 在 V 的某个基下的矩阵是   3 1 −1 2 2 −1 2 2 0   试求出 τ 和 υ，使得 σ = τ + υ。 解： 设 σ 在 V 的某个基下的矩阵是 A，特征多项式为 f(λ) = (λ − λ1) n1 · · ·(λ − λs) ns 则存在可逆方阵 P，使得 P −1AP = diag(A1, A2, . . . , As)，其中 Ai 为对应 特征根 λi 的若当块，阶数为 ni , i = 1, 2, . . . , s。 令 D = P diag(λ1I, λ2I, . . . , λsI)P −1，N = P diag(A1 − λ1I, A2 − λ2I, . . . , As − λsI)P −1，并设 D 所对应的线性变换为 τ，N 所对应的线 性变换为 υ，则 τ 可对角化。 令 n = max(n1, n2, . . . , ns)，则 Nn = 0，即 υ 是幂零变换。通过它们的 定义，显然有 σ = τ + υ，且 τ υ = υτ。 给定方阵 A =   3 1 −1 2 2 −1 2 2 0  ，计算得 |λI − A| = (λ − 2)2 (λ − 1)。 λ = 1 对应的特征向量为   1 0 2  ，λ = 2 对应的特征向量只有   1 1 2  。 解方程 (A − 2I)x =   1 1 2  ，得到 x =   1 1 1  。 于是 P =   1 1 1 1 1 0 2 1 2  ，τ 的方阵表示为 P   2 0 0 0 2 0 0 0 1   P −1，υ 的方 阵表示为 P   0 1 0 0 0 0 0 0 0   P −1。 2