使得(g(m》≠0.但是m=f),1eL.因此有hogof≠0，即，(fog)h)≠0，这是一个矛 盾.所以Imf C Kerg. 再证mf=Kerg.(反证)假设mf三Kerg.然后选择非零元m E Kerg--lm.因此m+lmj 是M/Im时的非零元.故存在h∈Homr(M/Imf,E)使得h(m+Imf)≠0.因此，态射的复合 i:M马MImf点E满足i(m)≠0其中开是自然满同态.但是f(间=i0f=horof=0, 这是因为Tof=0.所以i∈Kerf=mg.即，存在j∈HomR(,E),使得i=gG)=jog. 但是m E Kerg,这得到i(m)=j(g(m)=0,这与im)≠0矛盾 S3有限表现平坦模是投射模 模M称为有限表现的，如果存在正合列 B→F6-→M-→0 其中，F均为有限生成自由模；或等价地，存在正合列 乃-→→M-→0 其中P,B均为有限生成投射模. 定理3.l有限表现平坦模是投射模.特别地，Noether环上的有限生成平坦模是投射模. 为了证明该定理，先考虑如下引理. 引理3.2设R和S是任意环 )设A是一个有限表现右S-模，B是一个R-S-双模，且C是一个内射左R-模.则自然 同态 T:A⑧s Homg(B,C)-→Homr(Homs(A,B),C), a⑧f+“r(a⑧f):g→fg(a) 是同构，其中a∈A,f∈Homr(B,C),geHoms(A,B)- ②设A是一个有限表现左R模，B是一个RS双模，且C是一个内射右S模.则向然 同态 Homs(B,C)RA-Homs(HomR(A,B),C), f8a→“r(f⑧a:g→fg(a)r 是同构，其中a∈A,f∈Homs(B,C),g∈Homn(A,B) 证.我们只证明()，结论(2)类似可证.我们考虑正合列乃-一6一→A-一0，其中F,A 均为有限生成自由右S模.因为Homs(-,B)是左正合函子，故 0>Homs(A,B)→Homs(E6,B)→Homs(E,B) 是左R模正合列又因为C是内射左R模，故HomR(一，C)是正合函子，从而 HomR(Homs(F.B).C)-Hom(Homs(Fo.B).C)-Hom(Homs(A.B).C)-0 5 ¶ h(g(m)) 6= 0. ¥ m = f(l), l ∈ L. œdk h ◦ g ◦ f 6= 0, =, (f ∗ ◦ g ∗ )(h) 6= 0, ˘¥òág Ò. §± Imf ⊆ Kerg. 2y Imf = Kerg. (áy) b Imf $ Kerg. ,￾¿Jö" m ∈ Kerg−Imf. œd m+Imf ¥ M/Imf ö". 3 h ∈ HomR(M/Imf, E) ¶ h(m + Imf) 6= 0. œd, E‹ i : M π−→ M/Imf h −→ E ˜v i(m) 6= 0, Ÿ• π ¥g,˜”. ¥ f ∗ (i) = i ◦ f = h ◦ π ◦ f = 0, ˘¥œè π ◦ f = 0. §± i ∈ Kerf ∗ = Img ∗ . =, 3 j ∈ HomR(N, E), ¶ i = g ∗ (j) = j ◦ g. ¥ m ∈ Kerg, ˘ i(m) = j(g(m)) = 0, ˘Ü i(m) 6= 0 gÒ. §3 kÅLy²"¥›  M °èkÅLy, XJ3‹ F1 −→ F0 −→ M −→ 0 Ÿ• F0, F1 ˛èkÅ)§gd; ½d/, 3‹ P1 −→ P0 −→ M −→ 0 Ÿ• P0, P1 ˛èkÅ)§›. ½n 3.1 kÅLy²"¥›. AO/, Noether DzkÅ)§²"¥›. è y²T½n, kƒXe⁄n. ⁄n 3.2  R ⁄ S ¥?øÇ. (1)  A ¥òákÅLym S-, B ¥òá R-S-V, Ö C ¥òáSÜ R-. Kg, ” τ : A ⊗S HomR(B, C) −→ HomR(HomS(A, B), C), a ⊗ f 7→ “τ (a ⊗ f) : g 7→ f(g(a))” ¥”, Ÿ• a ∈ A, f ∈ HomR(B, C), g ∈ HomS(A, B). (2)  A ¥òákÅLyÜ R-, B ¥òá R-S-V, Ö C ¥òáSm S-. Kg, ” τ : HomS(B, C) ⊗R A −→ HomS(HomR(A, B), C), f ⊗ a 7→ “τ (f ⊗ a) : g 7→ f(g(a))” ¥”, Ÿ• a ∈ A, f ∈ HomS(B, C), g ∈ HomR(A, B). y. ·Çêy² (1), (ÿ (2) aqåy. ·Çƒ‹ F1 −→ F0 −→ A −→ 0, Ÿ• F0, F1 ˛èkÅ)§gdm S-. œè HomS(−, B) ¥Ü‹ºf,  0 /HomS(A, B) /HomS(F0, B) /HomS(F1, B) ¥Ü R-‹.qœè C ¥SÜ R-,  HomR(−, C) ¥‹ºf, l HomR(HomS(F1, B), C) /HomR(HomS(F0, B), C) /HomR(HomS(A, B), C) /0 5