第五章中心力场 S5.1中心力场中粒子运动的一般性质 1.中心力场中 Schrodinger方程的约化 中心力场的势能函数与方向无关 ,(r=|F) 所以粒子的 Hamiltonian是(本章中将用代表质量,以区别磁量子数m,而且正代表约化质量) hr +(r) 2 不难证明,这时候我们有 ,]=[,L]=0, 所以力学量的完全集是{,L2,L,},也就是说,我们可以要求定态 Schrodinger方程的解同时是角动量 本征函数。 现在 Schrodinger方程是 h2 V2+V(r)v=Ev(r) 把V2换写到球坐标系: sin e sin 0 ae 6丿r2sin20aq2 我们发现 h2 a 所以方程也就是 h0(,O V(r)+ 现在y可以在球坐标系中分离变量(也就是说让v同时是角动量本征函数) =v(,6.q)=R(r)Ym(, 而我们有 L2y(O,q)=l(1+1)h2yn(0,9) 所以R(r)满足 E-(r) l(+1)h R=0 ride h2 2 它称为径向 Schrodinger方程。注意,这个方程与量子数m无关,所以能量对于m必定是简并的。有时 还再引入变换 R(r)=2,或者u(r)=rR(r) 则方程变为: d2a.2 E-( l(+1)h 0 d r h 它称为约化的径向方程。 2.约化径向方程与一维 Schrodinger方程的比较 从形式上看,约化径向方程与一维 Schrodinger方程非常相似,但是二者还是有重要的区别 (1)一般地说,维 Schrodinger方程的自变量区间是-∞<x<+∞,但是约化径向方程的自变量区 间是0≤r<+∞。既然r=0是边界,我们就必须在这里提出一定的边界条件。注意到(r)=rR(r)而1 第五章 中心力场 §5.1 中心力场中粒子运动的一般性质 1．中心力场中 Schrödinger 方程的约化 中心力场的势能函数与方向无关： V V r r r = = ( ), | | ( ) 所以粒子的 Hamiltonian 是（本章中将用  代表质量，以区别磁量子数 m ，而且  正代表约化质量） 2 2 ˆ ( ). 2 H V r  = −  + 不难证明，这时候我们有 2 ˆ ˆ ˆ [ , ] [ , ] 0, H L H L = = z 所以力学量的完全集是 2 ˆ ˆ { , , } H L L z ，也就是说，我们可以要求定态 Schrödinger 方程的解同时是角动量 本征函数。 现在 Schrödinger 方程是： 2 2 ( ) ( ). 2 V r E r        −  + =   把 2  换写到球坐标系： 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 sin , sin sin r r r r r r                 = + +              我们发现： 2 2 2 2 2 2 2 1 , 2 2 2 r L    r r r r     −  = − +       所以方程也就是 2 2 2 2 2 1 ( ) . 2 2 r V r L E r r r r             − + + =         现在  可以在球坐标系中分离变量（也就是说让  同时是角动量本征函数）： ( , , ) ( ) ( , ), lm       = = r R r Y 而我们有 2 2 ( , ) ( 1) ( , ), L Y l l Y lm lm     = + 所以 R(r) 满足 2 2 2 2 2 1 2 ( 1) ( ) 0. 2 d d l l r E V r R r dr dr r         +     + − − =         它称为径向 Schrödinger 方程。注意，这个方程与量子数 m 无关，所以能量对于 m 必定是简并的。有时 还再引入变换 ( ) ( ) , u r R r r = 或者 u r r R r ( ) ( ), = 则方程变为： 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( ) 0. 2 d u l l E V r u dr r     + + − − =     它称为约化的径向方程。 2．约化径向方程与一维 Schrödinger 方程的比较 从形式上看，约化径向方程与一维 Schrödinger 方程非常相似，但是二者还是有重要的区别。 (1) 一般地说，一维 Schrödinger 方程的自变量区间是 −   + x ，但是约化径向方程的自变量区 间是 0  r  + 。既然 r = 0 是边界，我们就必须在这里提出一定的边界条件。注意到 u r r R r ( ) ( ) = 而