,326. 北京科技大学学报 第32卷 的节点，在其中采用CA模型进行形核与生长计算， 系的中断被去除；二是在平衡比热方法中，能量的保 CA节点是自动生成的，该方法可以模拟外层等轴 存不用非常精确：三是在冷却过程中，任何凝固通道 晶与柱状晶的竞争生长、柱状晶区的形成、晶粒边界 都是具有精确的降低焓的特征 的取向与热梯度之间的关系、柱状晶向等轴晶的转 1.2.2相图四 变(CET)以及在非等温温度场中等轴晶粒的形 假设凝固合金为二元，并线性化该二元合金， 状等， 因此，液相线可被视为一个斜率为m的直线，固相 本文在分析CAFE方法物理本质、数值计算方 线也被线性化，定义分配系数k为G=ka，,G和 法的基础上，结合金属凝固组织形成过程中的各种 ā是任意温度T时固液相的平衡浓度.此外，T 现象和规律，对易切削钢9SMn28铸件进行了凝固 表示纯物质的熔点，在糊状区，共晶温度T和温度 过程、缩孔和疏松及三维微观组织的模拟 T与液相平衡浓度关系为T=Tm十ma,当到达共 1CAFE法数学物理模型 晶温度T=T时，a=cm平均焓H成为凝固分数 ￡的线性函数， 1.1材料热物性计算 1.3CA模型 Lkas等四发展了一个广泛的金属材料热物性 1.3.1非均匀形核 数据库，Katmner⑧拓展了该数据库，这些热物性参 用连续而非离散的分布函数dn/d(△T)来描述 数包括密度、比热容、焓、潜热、传热系数和液相黏度 晶粒密度的变化，其中dn是由过冷度△T的增加引 等，通常用下面一个简单的双混合模型去计算这些 起的晶粒密度增加.dn/d(△T)是由下式的高斯分 特性 p=∑P+∑∑x∑n.(x-s)4) 布确定的3)， dn 式中，P为相的特性，P:为该相中纯元素的特性，2 d(△T)J2△T, △T 为二元相互作用参数，x、x分别为元素ij在该相 (5) 中的摩尔分数. 式中，△Tm为平均形核过冷度，K:△T,为形核过冷 1.2相变 度标准方差，K:n为正态分布从0到∞积分得到 1.2.1焓与温度o 的最大形核密度， 模拟对实际凝固过程进行了合理的简化：不考 1.3.2枝晶尖端生长动力学 虑合金凝固过程中的对流；疏松计算时，不考虑气体 在实际合金凝固过程中，晶体生长不仅受动力 的影响；钢液瞬时充满铸模，在忽略对流影响时，温 学过冷影响，而且还受成分过冷的影响，枝晶尖端 度场遵循下面的非稳态热流方程： 的总过冷度△T由下式给出： div(k(x T)gradT(x t))= △T=△T.十△T,十△T,十△T (6) 12(D 式中，△T。、△T、△T和△T分别为成分过冷度、热力 s（&at ∂t (2) 学过冷度、固液界面曲率过冷度和生长动力学过 式中，k为导热系数，G为比热容，L为结晶潜热，T、 冷度，对绝大多数合金而言；△T、△T,和△T通常 〔分别为温度和凝固分数，方程(2)右边是铸件某 可以忽略。在此条件下，柱状晶和等轴晶的生长速 一点焓H的变化，可用下式定义： 度可用KGT(KurzG ivoanola-Trivedi)模型吗).在实 H(T)= 9(T)dT+L(1-) (3) 际模拟过程中，为了加速计算的进程，对KGT模型 在通常的方法中，焓同样也是时间、冷却速率和 进行拟合，得到如下枝晶尖端生长速度的多项式， 晶粒密度等的函数·但是，对于特定的热流，方程 v(△T)=△T十△T3 (7) (2)表示独立于凝固通道的焓的变化，因此，在宏观 式中，、分别为拟合多项式的系数，△T为枝晶 范围内，采用焓作为变量比温度更适合，方程可以 尖端总过冷度，K 写为： 1.3.3FE与CA耦合的实现 div(k(x T(H(x t)))gradT(H(x t)))= 为了将E和CA方法耦合到一个模型中，并且 H(x t) 引入结晶潜热的影响，定义了E节点和CA元胞之 dt (4) 间的插值因子，这些因子结合FE节点的温度就可 该方程有几个优点：一是一些与快速相变相联 以确定网格中元胞的温度，在节点处，采用同样的北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 的节点‚在其中采用 ＣＡ模型进行形核与生长计算‚ ＣＡ节点是自动生成的．该方法可以模拟外层等轴 晶与柱状晶的竞争生长、柱状晶区的形成、晶粒边界 的取向与热梯度之间的关系、柱状晶向等轴晶的转 变 （ＣＥＴ）以及在非等温温度场中等轴晶粒的形 状等． 本文在分析 ＣＡＦＥ方法物理本质、数值计算方 法的基础上‚结合金属凝固组织形成过程中的各种 现象和规律‚对易切削钢 9ＳＭｎ28铸件进行了凝固 过程、缩孔和疏松及三维微观组织的模拟． 1 ＣＡＦＥ法数学物理模型 1∙1 材料热物性计算 Ｌｕｋａｓ等 ［7］发展了一个广泛的金属材料热物性 数据库‚Ｋａｔｔｎｅｒ ［8］拓展了该数据库．这些热物性参 数包括密度、比热容、焓、潜热、传热系数和液相黏度 等．通常用下面一个简单的双混合模型去计算这些 特性 ［9］． Ｐ＝∑ ｘｉＰｉ＋∑ｉ ∑ ｊ≻ｉ ｘｉｘｊ∑ｖ Ωｖ（ｘｉ—ｘｊ） ｖ （1） 式中‚Ｐ为相的特性‚Ｐｉ为该相中纯元素的特性‚Ωｖ 为二元相互作用参数‚ｘｉ、ｘｊ分别为元素 ｉ、ｊ在该相 中的摩尔分数． 1∙2 相变 1∙2∙1 焓与温度 ［10］ 模拟对实际凝固过程进行了合理的简化：不考 虑合金凝固过程中的对流；疏松计算时‚不考虑气体 的影响；钢液瞬时充满铸模．在忽略对流影响时‚温 度场遵循下面的非稳态热流方程： ｄｉｖ（ｋ（ｘ‚Ｔ）ｇｒａｄＴ（ｘ‚ｔ））＝ ｃｐ（ｘ‚ｔ） ∂Ｔ（ｘ‚ｔ） ∂ｔ —Ｌ ∂ｆｓ（ｘ‚ｔ） ∂ｔ （2） 式中‚ｋ为导热系数‚ｃｐ为比热容‚Ｌ为结晶潜热‚Ｔ、 ｆｓ分别为温度和凝固分数．方程 （2）右边是铸件某 一点焓 Ｈ的变化‚可用下式定义： Ｈ（Ｔ）＝∫ Ｔ 0 ｃｐ（Ｔ）ｄＴ＋Ｌ（1—ｆｓ） （3） 在通常的方法中‚焓同样也是时间、冷却速率和 晶粒密度等的函数．但是‚对于特定的热流‚方程 （2）表示独立于凝固通道的焓的变化．因此‚在宏观 范围内‚采用焓作为变量比温度更适合‚方程可以 写为： ｄｉｖ（ｋ（ｘ‚Ｔ（Ｈ（ｘ‚ｔ）））ｇｒａｄＴ（Ｈ（ｘ‚ｔ）））＝ ∂Ｈ（ｘ‚ｔ） ∂ｔ （4） 该方程有几个优点：一是一些与快速相变相联 系的中断被去除；二是在平衡比热方法中‚能量的保 存不用非常精确；三是在冷却过程中‚任何凝固通道 都是具有精确的降低焓的特征． 1∙2∙2 相图 ［11］ 假设凝固合金为二元‚并线性化该二元合金． 因此‚液相线可被视为一个斜率为 ｍ的直线‚固相 线也被线性化‚定义分配系数 ｋｃ为 ｃ ∗ ｓ ＝ｋｃｃ ∗ 1 ‚ｃ ∗ ｓ 和 ｃ ∗ 1 是任意温度 Ｔ0 时固液相的平衡浓度．此外‚Ｔｍ 表示纯物质的熔点‚在糊状区‚共晶温度 Ｔｅｕｔ和温度 Ｔ与液相平衡浓度关系为 Ｔ＝Ｔｍ ＋ｍｃ ∗ 1 ．当到达共 晶温度 Ｔ＝Ｔｅｕｔ时‚ｃ ∗ 1 ＝ｃｅｕｔ‚平均焓 Ｈ成为凝固分数 ｆｓ的线性函数． 1∙3 ＣＡ模型 1∙3∙1 非均匀形核 用连续而非离散的分布函数 ｄｎ／ｄ（ΔＴ）来描述 晶粒密度的变化‚其中 ｄｎ是由过冷度 ΔＴ的增加引 起的晶粒密度增加．ｄｎ／ｄ（ΔＴ）是由下式的高斯分 布确定的 ［2］： ｄｎ ｄ（ΔＴ） ＝ ｎｍａｘ 2πΔＴσ ｅｘｐ — 1 2 ΔＴ—ΔＴｍａｘ ΔＴσ （5） 式中‚ΔＴｍａｘ为平均形核过冷度‚Ｋ；ΔＴσ 为形核过冷 度标准方差‚Ｋ；ｎｍａｘ为正态分布从 0到∞积分得到 的最大形核密度． 1∙3∙2 枝晶尖端生长动力学 在实际合金凝固过程中‚晶体生长不仅受动力 学过冷影响‚而且还受成分过冷的影响．枝晶尖端 的总过冷度 ΔＴ由下式给出： ΔＴ＝ΔＴｃ＋ΔＴｔ＋ΔＴｒ＋ΔＴｋ （6） 式中‚ΔＴｃ、ΔＴｔ、ΔＴｒ和 ΔＴｋ分别为成分过冷度、热力 学过冷度、固--液界面曲率过冷度和生长动力学过 冷度．对绝大多数合金而言；ΔＴｔ、ΔＴｒ和 ΔＴｋ通常 可以忽略．在此条件下‚柱状晶和等轴晶的生长速 度可用 ＫＧＴ（Ｋｕｒｚ-Ｇｉｖｏａｎｏｌａ-Ｔｒｉｖｅｄｉ）模型 ［12］．在实 际模拟过程中‚为了加速计算的进程‚对 ＫＧＴ模型 进行拟合‚得到如下枝晶尖端生长速度的多项式． ｖ（ΔＴ）＝ａ2ΔＴ 2＋ａ3ΔＴ 3 （7） 式中‚ａ2、ａ3 分别为拟合多项式的系数‚ΔＴ为枝晶 尖端总过冷度‚Ｋ． 1∙3∙3 ＦＥ与 ＣＡ耦合的实现 为了将 ＦＥ和 ＣＡ方法耦合到一个模型中‚并且 引入结晶潜热的影响‚定义了 ＦＥ节点和 ＣＡ元胞之 间的插值因子‚这些因子结合 ＦＥ节点的温度就可 以确定网格中元胞的温度．在节点处‚采用同样的 ·326·