§111含三角函数的无穷积分 lQ (Re)e-pR sin Rde e-pRsin ed0=2eR 证明的关键在于精确估计sinθ值.由图111可见,当0≤θ≤π/2时,有 所以 Q(z)eipzdzl 2eR/e-pR 20/mc 2F(1-ep) R 图11.1 这样,就证明了 Q(2)e2dz=0. 于是,在满足 Jordan引理的条件下 广~(owa=2x1∑(r) 上半平面 分别取实部和虚部,即得 I re)cos rdr -Rani 2 re [(e)eing(=-2mImE res vr(a 上半平面 上半平面 f()rd=lm2xi∑rsr(n-}=2xRa∑rs(a)= 例11.1计算积分 d. a>0 a+a 解根据上面的讨论,有 l= tie 以 SIn dr =7 dr 与此同时,还得到 dx=0. 这是显然的,因为被积函数是奇函数Wu Chong-shi §11.1 ➸➺➻➼✆➽➾➚➪➶ ✌ 2 ✍ ≤ Z π 0  Q ￾ Re iθ
  e −pR sin θRdθ < εR Z π 0 e −pR sin θdθ = 2εR Z π/2 0 e −pR sin θdθ. ➹ ➘✰➴➷⑨➨➬t➮➈ sin θ ➱✿✃❐ 11.1 ✵❒❉➠ 0 ≤ θ ≤ π/2 ➡ ❉❻ sin θ ≥ 2θ/π ❉❮✶     Z CR Q(z)eipzdz     < 2εR Z π 0 e −pR·2θ/πdθ = 2εR π 2pR ￾ 1 − e −pR
= επ p ￾ 1 − e −pR
. ❰ 11.1 ✫Ï❉➒➹ ➘Ð lim R→∞ Z CR Q(z)eipzdz = 0. ➨ ✇❉⑨ÑÒ Jordan ÓÔ✰ÕÖ×❉ Z ∞ −∞ f(x)eipxdx = 2π i X ➁➂➃➄ res  f(z)eipz . ✯➋⑤➎➏➐➑➏❉Ø➔ Z ∞ −∞ f(x) cos px dx = Re    2π i X ➁➂➃➄ res f(z)eipz    = −2π Im    X ➁➂➃➄ res f(z)eipz    , Z ∞ −∞ f(x) sin px dx = Im    2π i X ➁➂➃➄ res f(z)eipz    = 2π Re    X ➁➂➃➄ res f(z)eipz    . Ù 11.1 ➈➉✮✯ Z ∞ 0 x sin x x 2 + a 2 dx, a > 0 ✿ Ú ÛÜ⑩❸✰ÝÞ❉❻ Z ∞ −∞ xe ix x2 + a 2 dx = 2π i · 1 2 e i·ia = π ie−a . ❮✶ Z ∞ −∞ x sin x x 2 + a 2 dx = πe −a , Z ∞ 0 x sin x x 2 + a 2 dx = π 2 e −a . ßàá➡ ❉â➔ã Z ∞ −∞ x cos x x 2 + a 2 dx = 0. ✫✇äå✰❉æ⑥②✮③④✇❾③④✿