9.将下列函数展开成x的幂级数： (1)ln(1+x+x2+x3); (2) (2-x2 解：(1)ln(1+x+x2+x3)=ln+x)1+x2)]=ln(1+x)+ln(1+x2) -2-r后+- xe(-1 (2)由于、1=11 2-x21-x 名2，所以 2 1 1x∈e(-2,2) 0.设正项数州a}单调减砂少，且空-%发放，试证级数》 收敛 证明：由于正项数列{an}单调减少，故1iman存在，记1iman=a,则a≥0.若a=0, 则由莱布尼茨判别法知∑(-1)”a,收敛，这与假设矛盾，故a>0. 因m=m 1+a <1,所以由根值判别法 1+a 可如、级数司】 收敛 11.设f(x)是周期为2π的函数，它在[-π，π)上的表达式为 0,-π≤x<0, f(x)= e,0≤x<π. 将f(x)展开成傅里叶级数 解：所给函数满足收敛定理的条件，它在点x=nπ(n=0,±1，±2，)处不连续， 在其它点处均连续，从而由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛，当x=π时 级数收敛于Q-号，当x厅时微数收数于了. 29 >7 9．将下列函数展开成 x 的幂级数： （1） 2 3 ln(1 x  x  x ) ； （2） 2 1 (2  x) . 解：（1）ln(1 ) ln[(1 )(1 )] ln(1 ) ln(1 ) 2 3 2 2  x  x  x   x  x   x   x ( 1) ( 1) ( 1,1] 1 2 1 1 1              x n x n x n n n n n n （2）由于 1 0 1 1 1 2 2 2 1 2 n n n x x x          ，所以 1 2 1 1 0 1 1 1 ( ) ( ) ( 2,2) (2 ) 2 2 2 n n n n n n x n x x x x                   10．设正项数列an单调减少，且 1 ( 1) n n n a    发散，试证级数 1 1 1 n n n a           收敛. 证明：由于正项数列an单调减少，故lim n n a  存在，记lim n n a a   ，则a  0 .若a  0 ， 则由莱布尼茨判别法知 1 ( 1) n n n a    收敛，这与假设矛盾，故a  0 . 令 1 1 n n n u a         ，因 1 1 lim lim 1 1 1 n n n n n n n u   a a            ，所以由根值判别法 可知，级数 1 1 1 n n n a           收敛. 11．设 f (x) 是周期为2 的函数，它在 ,  上的表达式为 0, - 0, ( ) , 0 . x x f x e x           将 f (x) 展开成傅里叶级数. 解：所给函数满足收敛定理的条件，它在点 x  n (n  0,1,2,) 处不连续， 在其它点处均连续，从而由收敛定理知道 f (x) 的傅里叶级数收敛，当 x  n 时 级数收敛于 0 2 2 e e     ，当 x  n 时级数收敛于 f (x) ．