存在，式中m和a为常数，则以式(1)~(5)为基础进行一系列的数学处理（详细过程略），即 可获得表1所总结的两大类分布之间的一系列数值对应关系。表1第1~4行、5~7行和 8~10行分别为绝对值分布、相对值分布和对数值分布的情况，其中8~10行中出现的C:、 C3:和C32是由下式表示的3个常数： C3n=Inks.-(1/3)Ink:(=0,1,2) 2分析与讨论 由表1可获知如下信息： (1)在讨论晶粒界面数分布与其它分布的关系时，使用（界面数一2）代替界面数常常 更为便利。 (2)晶粒的角隅数、棱边数、（界面数-2）、空间直伦（平均切直径或等体积直伦）4 个参量的绝对值、相对值及对数值的相应分布分别具有相同的不对称程度和蜂态。即使在给 定多晶体的g。、k31、a2和。的数值未知的情况下，仍然可以由上述4个参量中的任一个 的分布类型推断其余的3个。 (3)采用参量绝对值的变异系数和对数值的标谁差（即儿何标准差【1）表征分布宽度的 方法在文献中均有报道。表1表明，不论采用这两种方法中的哪一种，晶粒的角隅数、棱边 数、（界面数一2），直径4个参量的分布宽度亦均相等。当采用几何标准差表征分布宽度 时，晶粒体积分布宽度3倍于直径分布宽度。 (4)只有当给定多晶体的：（和/或a1、k2)数值已知时，才能由晶粒直径均值D 推知各拓扑参量的均值。另一方面，由给定参量的对数值的平均值（如lnD,ln7和lnNs。 等)可以容易地推知其它参量的几何均值。若利用表1由晶粒尺寸（体积）分布的数据推知 各拓扑参量的几何均值时，则还要知道k,值（后者隐含在常数C0、C3:和C32中）。 晶粒的三维空间尺寸（体积或直伦）和拓扑参量的实验测定都是相当困难的，然而前者 的测定比后者的要容易得多。故表1的一个直接用途就是根据晶粒尺寸分布的实验数据推知 拓扑参量的分布情况。对于无须知道任何值即可进行的分布宽度、峰态和不对称程度的推 估工作，表1的运用是极便利的。 由前文可知，欲求ka6、k3:利s2的值，需要先道拓扑参量的均值，这就使利用晶粒 尺寸数据和表1推估拓扑参量的均值的工作失去了意义。一种补救办法是用Coxeter统计模 型或14面体模型的拓扑参量均值作为实际晶粒拓扑参量的均值的估计值【5】。这种方法对于 晶粒已经充分稳态生长的多晶体不会引入太大误差，但对晶粒未经足够长时间稳态生长的 情况恻导致过高估计。在需要由晶粒尺寸数据推估拓扑参量儿何均值时，则可按上法先估计 k30、k31和k32的值，并取3=π/6，再根据表1进行推估。图1是根据退火纯铁的单方向空 间切直径的实验数据「2)，按晶粒尺寸分组后整理绘成的。表明取π/6为k3的近似值是合理 的。 表2和表3以及图2是利用退火纯铁【2)和A1-S合金【8)的实验数据对表1的可靠性进 行验证的结果，计算时采用样本数字特征代替了总体数字特征。例如，采用s(X)代替了σ (X)。验证结果表明，利用表1根据晶粒尺寸分布数据推估拓扑参量的分布宽度、不对称程 321存 在 ， 式中 和 为常数 ， 则以 式 为 基础进 行一 系列 的数学 处理 详细过程 略 ， 即 、 一 可获得表 所总结 的两大类分布之 间的 一 系 列数 值对应 关 系 。 表 第 行 、 行和 一 行 分别 为绝对 值分布 、 相 对值分布和 对数 值 分布 的情况 ， 其 中 一 行 中出现 的 。 、 。 ，和 是 由下 式表示 的 个 常数 。 。 介 一 厂 九。 ， ， ， 分析 与讨论 由表 可获知如 下信 息 在讨论晶 粒 界面数分布 与其它分布 的关 系时 ， 使 用 界 面数 一 代替界 面数常常 更 为 便利 。 晶 粒 的角 隅数 、 棱 边数 、 界 面数 一 忿 、 空 间直 径 平 均切直径或等 体积直 径 个参量 的绝 对值 、 相对值及 对数 值 的相应 分布分别 具 有 相 同 的 不对称程 度和 峰态 。 即使 在 给 定多晶 体 的 。 。 、 秃。 ， 、 。 和秃。 的数值未 知 的情况 下 ， 仍然 可以 由上述 个参量 中的 任一个 的 分布类 型 推 断其 余 的 个 。 采 用 参量绝对值 的变异 系数和 对数值 的标 准差 何标准差 〔 ‘ 〕 表征分布宽 度的 方法在 文献 中均有报道 。 表 表 明 ， 不 论 采 用这两种方法 中的哪一种 ， 晶粒 的 角隅数 、 棱边 数 、 界 面数 一 ， 直径 个参量 的分布 宽度 亦均 相等 。 当采 用 几 何标准差表征分布 宽 度 时 ， 晶 粒体积分 布宽 度 倍于直 径分布宽 度 。 只 有 当 给定多 晶体 的 。 和 或 庵 。 ， 、 数值 已知 时 ， 才 能 由晶粒直径 均值 推 知各 拓扑 参量 的均值 。 另 一方 面 ， 由给定 参量 的对数值 的平均值 如 ， 犷和 。 等 可 以容 易地推知其它 参量 的几何均值 。 若利用表 由晶粒尺 寸 体积 分布的数 据 推 知 各拓 扑 参量 的几 何均值时 ， 则还 要知道龙 值 后者隐含在常数 。 。 、 。 ，和 中 。 晶 粒的 三 维空 间尺寸 体 积或直径 和 拓扑参量 的实验测定都是相 当 困难 的 ， 然 而 前者 的测定 比 后 者 的要容 易得 多 。 故 表 的 一 个直接 用途 就是 根 据晶 粒 尺寸 分布 的实验数 据推 知 拓扑参量 的分布情况 。 对于无 须 知道 任 何 庵值即 可进 行 的分布宽 度 、 峰态和 不对称 程 度 的推 估工 作 ， 表 的运用 是极 便利 的 。 由前 文可 知 ， 欲求 掩 。 。 、 ，和 一 踌 。 的值 ， 需 要先 知道拓 扑参量 的均值 ， 这就使 利 用 晶粒 尺寸数据和表 推估拓 扑 参量的 均值 的工作 失去 了意义 。 一种补救办法是用 统 计模 型或 面体模 型 的拓扑参量均值作为实 际 晶粒拓 扑参量的均值的估计值 〔 ’ 。 这种方法 对于 晶 粒 已经充分稳态生长 的多晶 体 不会引 入 太大误 差 ， 但对 晶粒未经 足够长时 间稳 态 生 长 的 情况 则导致过 高估计 。 在需要 由晶粒 尺 寸数据推估拓扑 参量儿何均值时 ， 则可按上 法 先 估计 寿 。 、 秃。 和 。 的值 ， 并取寿。 二 ， 再 根据表 进 行推估 。 图 是 根据退火纯铁 的单方 向空 间切直径 的实验数据 〔 ’ ， 按 晶粒尺寸分组后整理绘 成 的 。 表 明 取 二 为 的近似值是 合理 的 。 表 和表 以 及 图 是 利用 退火纯铁 〔 “ 〕 和 一 合金 〔 〕 的实验数据对表 的可靠 性进 行验证 的结 果 ， 计算 时采 用样 本数字特征代替 了总体数字特征 。 例 如 ， 采 用 代 替 了。 。 验 证 结果 表 明 ， 利 用表 根据 晶 ’ 准尺 一 寸分布数据推估拓 扑 参量的分布宽 度 、 不对称程