由x≥0,y≥0,x+y≤2,可得0≤u≤2,-1≤v≤1,于是 udul e du (5)作变换n=x+yy=x-y,则2a.=2,xy=-1,于是 a(x, y) a(,v)2 dv I+(x-y) ∫pral (6)利用极坐标,得到 2asin e dxdy=r d6 4 由 dr d√4 4a2-r2dr 以及 可像h=(4a2-=42a arcsin dr d r= 2a arcsin 4 所以 dxdy (sin 8-0)de-I--8 16 5.选取适当的坐标变换计算下列三重积分 (1)(x2+y2+=)dbd,其中9为球{xy:)x2+y2+=2s1l; (2) dxdNd,其中Ω为椭球 (3)x2+y5aoh,其中Ω为柱面y=√2x-x2及平面 z=0,x=a(a>0)和y=0所围的区域; (4) ln(1+x2+y2+2) dhd,其中g为半球 (x,y,z)x2+y2+z2≤1,z≥0}; (5)(x+y+-)dht,其中9为抛物面x2+y2=2与球面由 x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2，可得0 ≤ u ≤ 2,−1 ≤ v ≤ 1，于是 ∫∫ + − D e dxdy x y x y e udu e dv e v 1 2 1 1 1 2 0 = = − ∫ ∫− 。 （5）作变换u = x + y,v = x − y，则 2 1 ( , ) ( , ) 2, ( , ) ( , ) = − ∂ ∂ = − ∂ ∂ u v x y x y u v ，于是 ∫∫ + − + D dxdy x y x y 2 2 1 ( ) ( ) 2 1 6 1 1 1 2 1 1 2 π = + = ∫ ∫ − − v dv u du 。 （6）利用极坐标，得到 ∫∫ − − + D dxdy a x y x y 2 2 2 2 2 4 ∫ ∫ − − − = θ π θ 2 sin 0 2 2 2 0 4 4 a dr a r r d ， 由 ∫ ∫ ∫ = − − = − − + − − dr rd a r r a r a r dr a r r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 以及 ∫ ∫ ∫ = − − − − − = − a r dr r r dr a a r a a r dr a r r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 arcsin 4 4 (4 ) 4 ， 可得 a r C r a r dr a a r r = − − + − ∫ 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 arcsin 4 ， 所以 ∫∫ − − + D dxdy a x y x y 2 2 2 2 2 4 2 2 0 4 2 16 8 2a (sin cos )d a − = − = ∫− π π θ θ θ θ 。 5. 选取适当的坐标变换计算下列三重积分： （1）∫∫∫( x 2 2 + + y z 2 )dxdydz ，其中 Ω 为球{( ； Ω x y, ,z)| x y z } 2 2 2 + + ≤ 1 （2） 1 2 2 2 2 2 ∫∫∫ − − − 2 x a y b z c dxdydz Ω ，其中 Ω 为椭球 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ( , , ) + + ≤ 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x x y z ； （3） z x y dxdydz 2 2 ∫∫∫ + Ω ，其中 Ω 为柱面 y x = 2 − x 2 及平面 z z = = 0, a (a > 0)和 y = 0所围的区域； （4） z x ( y z ) x y z dxdydz ln 1 1 2 2 2 2 2 2 + + + + + + ∫∫∫ Ω ，其中 Ω 为半球 {( , , ) | 1, 0} 2 2 2 x y z x + y + z ≤ z ≥ ； （5） ∫∫∫ ( ) x + +y z 2 dxdydz ，其中 Ω 为抛物面 与球面 Ω x y a 2 2 + = 2 z 4