imnP()=6,此条件称为标准性惫件,约定P(O)=·标准性条件意味着 limP(t)=P(0)。 Chapman- Kolmogorov方程写成矩阵形式有P(s+t)=P(s)P(t)。 52Q矩阵与 Kolmogorov向前、向后徽分方程 设X(),1≥0为标准连续时间 Markov链,状态空间为S={02…},转移概率 (1) 引理521:对给定i,j∈S,P()为t的一致连续函数 证明:设h>0, P(t+b)-P()=∑P(h)B2()-P2() k=0 -P(h)p2()+∑P(h)P 由此可知 P(t+h)-P()=∑P(h)P(1)-P()≥-{-P(h)2()2-{-P(h B(t+h)-P2()=∑P(h)B4(1)-P)≤∑(h)B()=1-P(h) 因此P?(+h)-P()=1-P(h):当h<0时有类似不等式,故一般地有 P(+b)-P()s1-P( 令h→0就得到证明 引理522:当i≠ P( qi=-qii 引理523:0≤∑q≤q1≤∞。 证明:任意固定N,由于∑0s∑2=1=0 令t0有ij ij t P t = δ ↓ lim ( ) 0 ，此条件称为标准性条件，约定 Pij = δ ij (0) 。标准性条件意味着 lim ( ) (0)。Chapman-Kolmogorov 方程写成矩阵形式有 。 0 P t P t = ↓ P(s + t) = P(s)P(t) 5.2 Q 矩阵与 Kolmogorov 向前、向后微分方程 设 X (t),t ≥ 0 为标准连续时间 Markov 链，状态空间为S = {0,1,2L}，转移概率 Pij (t),i, j ∈ S 。 引理 5.2.1：对给定i, j ∈ S ， Pij (t)为t的一致连续函数。 证明：设h > 0， [ ] ∑ ∑ ∞ = ≠ ∞ = = − − + + − = − k k i ii ij ik kj ij k ij ij ik kj P h P t P h P t P t h P t P h P t P t 0, 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 由此可知 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 1 ( ) ( ) [ ] 1 ( ) 0 P t h P t P h P t P t P h P t P h ij ii ij ii k ij + − ij = ∑ ik kj − ≥ − − ≥ − − ∞ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 0 0, P t h P t P h P t P t P h P t P h ii k k i ij ik kj k ij + − ij = ∑ ik kj − ≤ ∑ = − ∞ = ≠ ∞ = 因此 P (t h) P (t) 1 P (h) ij + − ij ≤ − ii ；当h < 0时有类似不等式，故一般地有 P (t h) P (t) 1 P ( h ) ij + − ij ≤ − ii 令h → 0就得到证明。 引理 5.2.2：当i ≠ j ， = < ∞ ↓ ij ij t q t P (t) lim 0 ； = = − ≤ ∞ − ↓ i ii ii t q q t 1 P (t) lim 0 。 引理 5.2.3： ≤ ∑ ≤ ≤ ∞ 。 ≠ i j i 0 qij q 证明：任意固定 N ，由于 t P t t P t t P t ii j j i ij N j j i ij ( ) ( ) 1 ( ) 0, 0, − ∑ ≤ ∑ = ∞ = ≠ = ≠ 。 令 t ↓ 0 有 2