X1>0,s=0,1,…t,则称之为X”的反调路线,而定义沿(17)的反调差和反调量分别为 h 18) =mn (19) 有了以上的准备可以得到如下结果。 定理2运输问题(1)产生“悖论”的充要条件是最优解X中存在反调路线(17),且由(18) 定义的反调差h满足 > min ck, (20) 这里k1是新值点(k4)所在的行 注意,在研究“悖论”现象时,不能对费用矩阵C做行列减值变换,因为这里要比较既不同行 也不同列的费用值 现在对最优解X”,沿反调路线(17),做一次反调量为9的反调整,然后于(K,,D)处增加9 则得如下方案X: X=X+9,K,=X x=+9…=XC1-9,R,1=xC1+9,其余石=X (21) 则与X比较,方案X于k行多发⑨,于L列多收9,其余各行、列收发不变,若(20)式成立, 则相应于X的运费 f(X)=f()-h8+ck,0<f(x* 可见多运了9,运费反而减少了(h-c)0 产生了“悖论”现象,说明在最优解的基础上还有潜力可挖(当然也说明原来的收发布局不 协调)。以上实际是给出了挖潜调整的具体步骤,对每一条满足(20)的反调路线均实行上述调整, 最后便得到不仅运量增加最多而且所耗费用最少的所谓最终最佳方案。 例2仍以§1例1为例,其最小方案X0(方框数字)及最优方案X(圆圈数字)标示如下149 1 0, 0,1, , s s X s t k j +   = ，则称之为 X  的反调路线，而定义沿（17）的反调差和反调量分别为 1 1 0 0 0 ( ) ( ) t t t t h c c c c k j k j k j k j + = − + + − （18） 1 0 min{ } s s k j s t  X +    = （19） 有了以上的准备可以得到如下结果。 定理 2 运输问题（1）产生“悖论”的充要条件是最优解 X  中存在反调路线（17），且由（18） 定义的反调差 h 满足 k j k l j n t t h c c min 1 1 1 + +  =   （20） 这里 t 1 k + 是新值点 1 ( , ) t t k j + 所在的行。 注意，在研究“悖论”现象时，不能对费用矩阵 C 做行列减值变换，因为这里要比较既不同行 也不同列的费用值。 现在对最优解 X  ，沿反调路线（17），做一次反调量为  的反调整，然后于 ( , ) 1 K l t+ 处增加  ， 则得如下方案 X ： 0 0 0 0 1 0 1 0 , X X X X k j k j k j k j     = + = − ， 1 1 1 1 1 1 , , , t t t t X X X X k j k j k j k j   + +   = + = − X X k k t t 1 1 1 1  + +  = + ，其余 X X ij ij  = （21） 则与 X  比较，方案 X 于 0 k 行多发  ，于 L 列多收  ，其余各行、列收发不变，若（20）式成立， 则相应于 X 的运费： ( ) ( ) ( *) 1 * f X f X h ck l f X t = − +  +   (22) 可见多运了  ，运费反而减少了（ ) 1 k l t h c + − 。 产生了“悖论”现象，说明在最优解的基础上还有潜力可挖（当然也说明原来的收发布局不 协调）。以上实际是给出了挖潜调整的具体步骤，对每一条满足（20）的反调路线均实行上述调整， 最后便得到不仅运量增加最多而且所耗费用最少的所谓最终最佳方案。 例 2仍以§1 例 1 为例，其最小方案 0 X （方框数字）及最优方案 X  （圆圈数字）标示如下：