4.相似矩阵具有相同的最小多项式 证:设矩阵A与B相似,gA(x),8(x分别为它们的 最小多项式 由A相似于B,存在可逆矩阵T,使B=T-1AT 从而gA(B)=8A(TAT=TgA(A)T=0 g(x)也以B为根,从而g8(x)g4(x) 同理可得g4(x)g(x) 又8A(x),81(x)都是首1多项式,∴8A(x)=81(x) §9最小多项式§9 最小多项式 4. 相似矩阵具有相同的最小多项式. 证：设矩阵A与B相似， g x g x A B ( ), ( ) 分别为它们的 最小多项式. 由A相似于B，存在可逆矩阵T , 使 1 B T AT. − = 从而 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 A A A g B g T AT T g A T − − = = = ( ) A  g x 也以B为根， 同理可得 ( ) ( ). A B g x g x ( ) ( ). B A 从而 g x g x 又 g x g x A B ( ), ( ) 都是首1多项式， ( ) ( ). A B  = g x g x