恒正或恒负 证设f(x)在[a,b上不保持定号,则存在x,x"∈[ab(不妨设x<x), 使f(x)与f(x")不同号,由闭区间上连续函数的中间值定理,必定存 在ξ∈[x,x"],使得∫()=0,这就产生矛盾,所以f(x)在[a,b上必定恒 正或恒负。 14.设函数∫(x)在ab上连续,a≤x1<x2<…<xn≤b,证明在{ab]中 必有ξ,使得 f()=-[f(x1)+f(x2)+…+f(xn) 证根据闭区间上连续函数的中间值定理,闭区间上连续函数一定能 取到最大值和最小值之间任何一个值。由于 min{(x)≤[(x1)+f(x2)+…+f(x)≤max{f(x)}, 所以在[ab中必有,使得 f()=-[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)。 15.若函数f(x)在[a,+∞)上连续,且limf(x)=A有限数),则f(x)在 [a,+∞)上一致连续。 证由1mf(x)=A,V6>0,3X>a,x,x>x1f(x)-f(x)<6。由于f(x) 在[a,￥+1]连续,所以一致连续,也就是 30<6<1,Wx,x∈[,x+1](x-x-<):|f(x)-f(x")<6。于是 Wx,x∈[+∞)(x-x<):|f(x)-f(x2)<E恒正或恒负。 证 设 f x( ) 在[a,b]上不保持定号，则存在 x', x"∈[a,b]（不妨设 x'< x"）， 使 f (x')与 f (x")不同号，由闭区间上连续函数的中间值定理，必定存 在ξ ∈[x', x"]，使得 f (ξ ) = 0，这就产生矛盾，所以 f x( ) 在[a,b]上必定恒 正或恒负。 14．设函数 f x( ) 在[a,b]上连续，a ≤ x1 < x2 < " < xn ≤ b，证明在 中 必有 [a,b] ξ ，使得 [ ( ) ( ) ( )] 1 ( ) 1 2 n f x f x f x n f ξ = + +"+ 。 证 根据闭区间上连续函数的中间值定理，闭区间上连续函数一定能 取到最大值和最小值之间任何一个值。由于 min { ( )} [ , ] f x x∈ a b ≤ [ ] ( ) + ( ) + + ( ) ≤ 1 1 2 n f x f x f x n " max{ ( )} [ , ] f x x∈ a b ， 所以在[a,b]中必有ξ ，使得 [ ( ) ( ) ( )] 1 ( ) 1 2 n f x f x f x n f ξ = + +"+ 。 15．若函数 在 上连续，且 = A(有限数)，则 在 上一致连续。 f (x) [a,+∞) limx→+∞ f x( ) f x( ) [a,+∞) 证 由 f x A x = →+∞ lim ( ) ，∀ε > 0, ∃X > a, ∀x', x"> X : f (x') − f (x") < ε 。由于 f (x) 在[a, X +1]连续，所以一致连续，也就是 ∃0 < δ <1, ∀x', x"∈[a, X +1]( x'−x" < δ ): f (x') − f (x") < ε 。于是 ∀x', x"∈[a,+∞)( x'−x" < δ ): f (x') − f (x") < ε 。 56