第二章多元函数微分学 n=v1×v2 aaa aaa (A B C) 记(以下所有偏导数都在(s0,to)求值) A B= 示正a 示a C 小aa 则单位法向量而0=± (Ai+ bj+ck A+B+c 因此曲面S在M处的切平面方程是 A(x-x0)+B(y-y)+C(x-z0)=0 法线方程为 x-x_y-y_2-0 例2设曲面S由方程x=u+v,y=u2+y2,z=u3+y3确定,试求 S在t0=2,v0=1时的法线与切平面方程 解根据曲面方程可知,曲面上与L0=2,v=1对应的点为 M0(3,5,9).由于 V, ahe2n=(142) aaa (1,23) 所以曲面S在点M0(3,5,9)处的法向量为 v×v2=1412=-127+9j-2k 因此所求的法线方程是 x=3-12t 切平面方程是 2(x-3)+9(y-5)-2(=-9)=0 由此可见当 gradF(M0)≠0时,由方程F(x,y,)=0确定的曲面 S在M。处的法向量为 gradF(M). 第五节微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式第二章 多元函数微分学 第五节 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 ( ) T A B C t z t y t x s z s y s x i j k n v v =             =  =      1 2 记（以下所有偏导数都在 ( , ) s0 t0 求值） t y t x s y s x C t x t z s x s z B t z t y s z s y A                         = , = , = 则单位法向量 ( ) 1 2 2 2 0 Ai Bj Ck A B C n + + + + =   因此曲面 S 在 M 0 处的切平面方程是 ( ) ( ) ( 0 ) 0 0 0 A x − x + B y − y +C z − z = 法线方程为 C z z B y y A x x 0 0 0 − = − = − 例 2 设曲面 S 由方程 x u v y u v z u v 2 2 3 3 = + , = + , = + 确定，试求 S 在 2, u0 = v0 = 1 时的法线与切平面方程. 解 根据曲面方程可知，曲面上与 u0 = 2, v0 =1 对应的点为 (3,5,9) M 0 .由于 ( , , ) (1,2,3) ( , , ) (1,4,12) 2 (2,1) 1 (2,1) = = = = v z v y v x u z u y u x v v               所以曲面 S 在点 (3,5,9) M 0 处的法向量为 i j k i j k v v         12 9 2 1 2 3 1 4 12 1 2  = = − + − 因此所求的法线方程是      = − = + = − z t y t x t 9 2 5 9 3 12 切平面方程是 −12(x − 3) + 9( y − 5) − 2(z − 9) = 0 由此可见当 ( ) 0 0 gradF M  时，由方程 F(x, y,z) = 0 确定的曲面 S 在 M 0 处的法向量为 ( ) M 0 gradF