D0I:10.13374/i.issn1001053x.2005.03.029 第27卷第3期 北京科技大学学报 Vol.27 No.3 2005年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.2005 一类基于奇异值分解的yapunov指数计算方法 张晓丹)李志萍》张丽丽) 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)广东工业大学应用数学学院，广州510090 摘要基于奇异值分解提出了一种有效的计算Lyapunov指数的方法.该方法既适用于离散 系统也适用于连续系统，且避免了频繁的重正交过程.数值计算显示，该方法稳定性好，计算 效率较高，计算结果可靠， 关键词Lyapunov指数：离散系统：连续系统：奇异值分解 分类号0175 对初始值的敏感性是混沌系统的一个最为 X=FX (1) 重要的特征，李雅普诺夫指数就是这种敏感性的 设{X)是该系统的一条轨道，△X为偏离该 量化.1983年，格里波基证明当一系统（非发散） 轨道的一微小量.则△X的演化满足 的李雅普诺夫指数出现正值时，此系统将是混沌 的.此外，判定由混沌系统分解出的子系统间能 Ax-服l小-AX 其中，J为F在X处的Jacobian矩阵，于是，可以得 否实现同步的主要判据之一即子系统的李雅普 出△X4=J△X=JJJ△X.记J=JJ-…J,则 诺夫指数（条件李雅普诺夫指数）皆应为负值，. △X1=△X. 可见计算李雅普诺夫指数谱对于动力系统的混 以下是离散系统Lyapunov指数谱的定义. 沌判定和混沌控制都是极为重要的 定义1对于n维离散动力系统(I),J如上 本文就已知动力学方程的系统，提出了一种 定义.设TX0=1im(W))2,则)是一个正定 有效的基于奇异值分解计算Lyapunov指数的方 矩阵，设≥2…≥>0为T)的n个特征值.则 法，由于该方法是从离散系统出发推得的，故其 系统(l)的第i个Lyapunov指数： 只适用于直接计算离散系统的Lyapunov指数.笔 G,=n2(i=1,2,…,n) (2) 者尝试把连续系统离散化，将其推广到计算连续 1,2连续系统Lyapunov指数的定义 系统的Lyapunov指数.结果表明该方法是完全可 考虑如下n维连续动力系统： 行的.本文详细给出了用定义法计算动力系统 X=F(X) (3) Lyapunov指数的具体实现过程，使Lyapunov指数 其中，X=(x,,x)P∈R,FX)=(f(X),(X,…, 的计算变得简单易行，并举例用这两种方法进行 了数值计算 方约r文=d d 设系统(3)以七为初始条件形成一轨道为 1 yapunov指数的定义 x化，)，若其初始条件的微小变化为(x,0),在1 时刻时轨道的偏差为(x,),则 对于维数大于1的系统，存在着Lyapunov指 Sx(xo,1)=xt,xo+x(xo,0))-x(t,xo). 数的集合，或称为Lyapunov指数谱.每一个Lyap (4) unov指数刻划系统的两条相互靠近的轨道沿某 定义o=lim In,p -=18(,0l 一特定方向按指数相互分离或靠拢的速率， 称o为系统(3)的Lyapunov指数，它表示相邻轨道 l.1离散系统Lyapunov指数的定义 发散（或收敛）率的测度， 考虑如下n维离散动力系统： 下面是连续系统Lyapunov指数谱的定义. 定义2对于n维连续动力系统(3)，在t=0时 收稿日期：2004-05-25楼回日期：200412-27 以x为中心，a(o,0)训为半径作n维球面.由于 基金项目：国家自然科学基金资助项目QNo.70271068) 作者简介：张晓丹(1960一)，女，教授 各方向收缩或扩张程度的不同，随着时间的演第 2 7 卷 第 3 期 20 5 年 6 月 北 京 科 技 大 学 学 报 JO u rn a l o f U n iv e rs i ty o f s e le n e e a n d 及e h n o l o gy B e ij i n g 、 b L2 7 N o J J U n . 2 0 0 5 一类基于奇异值分解的 Ly aP u n ov 指数计算方法 张 晓丹 ” 李志 萍 ” 张 丽 丽 ” l )北 京科技 大学应 用科 学学 院 , 北京 】0 0 0 83 2) 广 东工 业大 学应用 数学 学院 , 广州 5 10 0 90 摘 要 基 于奇异 值分 解提 出 了一 种有 效的计 算 切叩oun v 指数 的方 法 . 该方 法 既适用 于离散 系统 也适用 于连 续系统 , 且避 免 了频繁 的重正 交过程 . 数值 计算显 示 , 该方法稳 定性好 , 计算 效率 较 高 , 计算 结果 可靠 . 关键 词 yL aP un vo 指 数 ; 离 散系统 : 连续 系统 ; 奇异值 分解 分 类号 0 1 7 5 对 初 始 值 的敏 感 性 是 混沌 系 统 的 一 个最 为 重要 的特 征 , 李雅 普诺 夫指 数就 是这种 敏感 性 的 量化川 . 19 83 年 , 格里波基 证 明当一 系统 ( 非发 散 ) 的李 雅普诺 夫指 数 出现正 值 时 , 此 系统 将是混 沌 的份, . 此 外 , 判定 由混沌 系统 分解 出的子 系统 间能 否 实现 同步 的主 要 判据 之 一 即子 系 统 的 李雅 普 诺 夫指 数 ( 条件 李 雅普诺 夫 指数 ) 皆应 为 负值`圳 . 可 见 计 算 李雅 普 诺 夫指 数 谱对 于 动 力 系统 的混 沌 判 定和 混沌 控 制都 是极 为重 要 的 , 本文 就 已知 动力 学方 程 的系统 , 提 出了一种 有 效 的基 于奇 异值 分 解计 算 yL 叩u n o v 指数 的方 法 . 由于 该方 法 是从 离散 系统 出发推 得 的 , 故其 只 适用 于直接 计 算离 散系 统 的 yL aP uon v 指数 . 笔 者 尝试把 连续 系统 离散 化 , 将其 推广 到计算 连续 系 统 的yL aP u n o v 指数 . 结 果表 明该 方法 是完 全可 行 的 . 本 文 详细 给 出 了用 定 义 法 计算 动 力 系统 yL 即un vo 指数 的具 体 实现 过程 , 使 yL a P un vo 指数 的计 算变 得简 单易行 , 并举例 用这 两种 方法进 行 了数 值 计算 . 戈 辛 , = 月尤 ) ( l ) 设 {Xk } 是该 系统 的一条 轨道 , △戈 为偏 离该 轨 道 的一微 小 量 . 则 △戈 的演化 满足 ~xA 1一 嚼} 、 卜 一 “ 1 yL a P u n o v 指 数 的定义 对 于 维数 大于 1 的系 统 , 存 在着 切 a Pun o v 指 数 的集合 , 或称 为 yL aP un vo 指数 谱 . 每 一个 切叩 - un vo 指数 刻划 系 统 的两 条相 互靠 近 的轨 道沿 某 一 特 定方 向按 指 数相 互分 离 或靠 拢 的速 率 . L l 离散 系统 yL aP u on v 指 数 的定 义 考 虑如 下 n 维 离 散动 力系 统 : 收稿 日期 : 2 0 04 es 习5佗5 修 回 日期 : 2 0 0冬1 2佗 7 基金 项 目 : 国家 自然 科学基 金资助 项 目困.0 7 0 2 71 0 6 8) 作者 简介 : 张 晓丹 ( 1% O一) , 女 , 教授 其 中 , kJ 为F 在龙 处 的 J ac ob i an 矩 阵 . 于 是 , 可 以得 出八阶 毕 : = 工△戈 = 再几 一 , … jJ △X i . 记了” = 去大 一 」 … , 则 八脸 咔 : = 少k) A X i . 以下 是离 散 系统 yL a P u n o v 指数 谱 的定 义 . 定 义 1 对 于 ” 维 离散 动力 系统 ( l) , 产如 上 定义 . 设 爪幻 = l而(幼k’) 丫即2k)K , 则 双幻 是 一个正 定 矩 阵 , 设又 1之儿沙 二 全又户0 为 洲幻 的 n 个特 征值 . 则 系统 ( l) 的第 i 个 yL aP un vo 指数 : 民 = 以 , ( i = l , 2 , … , n ) ( 2) 1.2 连 续 系统 yL a p u n vo 指数 的 定义 考虑 如 下 n 维 连续 动 力系 统 : X = 月幻 ( 3 ) 其 中 , X = (x , , 关 , … , 瓜) T 任 r , 月幻 = 以因 , 关因 , … , ” 了 一 ` 、 , ; , _ d X 几(幻)T , X = 弓于 . J 。 。 二刀 , ` 一 dr ’ 设系 统 (3 ) 以与 为初 始 条 件形 成 一轨 道 为 城t , x0 ) , 若 其初 始条 件 的微 小变 化 为 叙伙。 , 0) , 在 t 时 刻 时轨道 的 偏差 为叙认 。 , )t , 则 叙伙。 , )t = 城t沐`十叙伙` , 0) ) 一城才丙) . 定义 一 吩 场耀黝 称 , 为 系统〔3) 的 yL a PnU vo 指 数 , 发散 ( 或 收敛 ) 率 的测度 . (4 ) 它表 示 相邻 轨道 下 面 是连 续系 统 yL 叩un vo 指数 谱 的定 义 . 定 义 2 对 于 n 维 连续 动力 系统 (3 ) , 在 t = O 时 以 与 为 中心 , }}叙认 。 , 0) }}为半径 作 n 维球 面 . 由于 各方 向收 缩或 扩 张程 度的 不 同 , 随着 时间 的 演 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2005. 03. 029