i)如果f(x)可约,那么它有一个非平凡因式g(x),故又分解式:f(x)=g(x)h(x), 这里0<degg(x)<degf(x),0<degh(x)<degf(x),按照归纳假设,g(x)与h(x)均可 分解为互不相同的不可约多项式的方幂的乘积,这样,f(x)显然也有这样的分解式。 唯一性对f(x)的次数做数学归纳法。n=0是命题显然成立 设命题对次数小于n的多项式成立。现考察f(x)为n次多项式的情形。设其有两个分 解是: 因为a0≠0,约去a0后得到 P2(x)4…p(x)=q1(x)2…q,(x 从上式知P(x)|q(x)2…q,(x)2,因为p1(x)是不可约多项式,由引理,P(x)整除某个 q(x),不妨设P1(x)|q1(x)但q1(x)也是不可约多项式,故只能有P1(x)=ag1(x)(a∈K)。 又因为P1(x)与q1(x)首相系数都是1,故a=1,即P1(x)=q1(x),从(*)两边消去P2(x), g(x)=p1(x)p2(x)2…p,(x)=q1(x)y-g2(x)2…q(x) 现在degg(x)=deg∫(x)-degp1(x)<n,按照归纳法,应有r=s,切适当排列不可约多 项式次序后,有P(x)=q(x),k=1(=1,2,…r)。由此可知,f(x)的分解式是唯一的。ii) 如果 f x( ) 可约，那么它有一个非平凡因式 g x( ) ，故又分解式： f x g x h x ( ) ( ) ( ) = ， 这里 0 deg ( ) deg ( ),0 deg ( ) deg ( )     g x f x h x f x ，按照归纳假设， g x( ) 与 h x( ) 均可 分解为互不相同的不可约多项式的方幂的乘积，这样， f x( ) 显然也有这样的分解式。 唯一性 对 f x( ) 的次数做数学归纳法。 n = 0 是命题显然成立。 设命题对次数小于 n 的多项式成立。现考察 f x( ) 为 n 次多项式的情形。设其有两个分 解是： 因为 0 a  0 ，约去 0 a 后得到 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) r s k k l l r s p x p x q x q x = （*） 从上式知 1 1 1 ( ) | ( ) ( ) s l l s p x q x q x ，因为 1 p x( ) 是不可约多项式，由引理， 1 p x( ) 整除某个 ( ) i q x ，不妨设 1 1 p x q x ( ) | ( ) 。但 1 q x( ) 也是不可约多项式，故只能有 1 1 p x aq x a K ( ) ( )( ) =  。 又因为 1 p x( ) 与 1 q x( ) 首相系数都是 1，故 a =1 ，即 1 p x( ) = 1 q x( ) ，从（*）两边消去 1 p x( )， 得 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r s k k k l l l r s g x p x p x p x q x q x q x − − = = 现在 1 deg ( ) deg ( ) deg ( ) g x f x p x n = −  ，按照归纳法，应有 r s = ，切适当排列不可约多 项式次序后，有 ( ) ( ), ( 1,2, , ) i i i i p x q x k l i r = = = 。由此可知， f x( ) 的分解式是唯一的