12 第十章网络的流 表10-2 工作 A BCD 甲 7 丙 解我们构造网络模型，用最大流算法求该问题的最佳方案， 用顶点1,52,3和84表示4个人，再用顶点1,2，起和t4表示4项工作.若s,可做 t,则给出有向边(s,)。这样就得到了一个图G=(VE),如图10-13所示。 图10-13 例5是一个最大匹配问题.设图G=(V,E),如果巧CV,E中所有的边都是一个端 点在中，另一个端点在下1中，那么图G称为二分图，记作G-(4,71,E),图10-13 是一个二分图.先取一条边可表示让某人去做某项工作，如(,)表示让甲去做A而 E的一个子集M可表示一个工作分配方案.根据题意M的任意两条边都没有共同的端 点.如果M二E并且M中的任意两条边都不相邻，则称M是二分图G的一个匹配 G中M川最大的匹配称为G的最大匹配(M川表示集合M中元素的个数).我们的问题 就是要找这样一个最大的M.所以这个问题可化为求图10-14所示的网络的最大流 在这个网络中边的容量皆为1。在图10-14中给出了该网络的最大流，边旁数字(c,f): 对应的工作分配方案M在图10-13中用双线标出.最多能安排3个人工作，例如甲做A, 丙做C,丁做B12 q❅r❇s✉t❇✈❅✇❇① ✇ 10–2 q❳ A B C D ♦ ⑥ √ √ ⑦ √ ⑧ √ √ ⑨ √ √ √ ❛ :Þ✁ß✁⑩✁❶❅❍❇■✁❷✛ , ✶❨✁❩✴✁↔❘✁❙✁➜ú✁ü★✁❨✁❸✁❧✁❹✺ ✶❦✁✧ s1,s2,s3 ÷ s4 ✇ ❱ 4 ✫✁♦, ♥✶❦✁✧ t1,t2,t3 ÷ t4 ✇ ❱ 4 ♣✁q❳✁✺P❺ si ❋ ✼ tj , ❻✁❞✁✲✁⑨ ✮❇❆ (si ,tj )✺⑩Û✁✙✁➘❧✁♥ÿ✁✪✁✫✁❚ G = (V, E), ➇ ❚ 10–13 ❯✁❱✁✺ ❚ 10–13 ❼ 5 ❃ ✪✁✫✁❨✁❩✁❽✁❾ú✁ü✁✺ ✒✁❚ G = (V, E), ➇✁➚ V1 ⊂ V , E ♣❯✁⑨★✁❆ø❃ ✪✁✫✁❿ ✧⑦ V1 ♣ , ➀✪✁✫✁❿✁✧⑦ V 1 ♣ , ➳✁➁✁❚ G ➂ ♦✁❁✽ ❚ , ✭ ❳ G = (V1, V 1, E)✺ ❚ 10–13 ❃ ✪✣✫✣❁✽ ❚ ✺⑩❝✣④✪✣❸✣❆✣❋✟✇❱✟➃✟❊♦✟➄✼✟❊♣✟q❳, ➇ (s1,t1) ✇ ❱✟➃ ⑥ ➄✼ A✺ ⑤ E ★✁✪✁✫✁➅✁➠ M ❋✁✇❱✪✁✫q❳✽ ❾✁❧✁❹✺➇➆✁➈✁ü✁➉ M ★✁t➉✾✁❸✁❆ø✁➊⑨✁➋✁✕★✁❿ ➌ ✺⑩➇✁➚ M ⊆ E ❬✁⑧ M ♣❇★✁t➉✾✁❸✁❆ø✁♠✁➍✁➎, ❻✁➂ M ❃ ❁✽ ❚ G ★✁✪✁✫✁❽✁❾✺ G ♣ |M| ❨✁❩✁★✁❽✁❾➂ ♦ G ★✁❨✁❩✁❽✁❾ (|M| ✇ ❱➠ ➔ M ♣✺➏✁➐✁★✁✫✁❴)✺⑩Þ✁ß★ ú✁ü ➘➦❃❩❚➦✱➦Û❩✙✪➦✫ |M| ❨➦❩➦★ M ✺ ❯❩❄➦Û✫ ú➦ü❋❩❯➦♦➦❙➦❚ 10–14 ❯➦❱★ ❍✄■★➦❨➦❩✴, ⑦✁Û✫ ❍❇■ ♣❇❆✁★✁➡✾❫➑♦ 1✺⑩⑦❚ 10-14 ♣❞✁✲ ÿ✁➜❍❇■★✁❨✁❩✴, ❆✁❫✁❴✁❵ (cij , fij ), ❏❩➒★q❳✽ ❾❩❧❩❹ M ⑦ ❚ 10–13 ♣✶➦✷➦✸✬ ✲➦✺ ❨ ö❻❩②❩③ 3 ✫❩♦ q❳➦✺ ❼➇ ⑥✼ A, ⑧✼ C, ⑨✼ B ✺