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www.cnki.net Vol 4. No. 4 高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 竞赛之窗 陕西省第四次大学生高等数学竞赛 (复赛)试题(附答案)m年0月12 (10分)求(,)x-。(n>1) 0,当n为偶数 n!,当n为奇数 (10分)设函数qx)、f(x)有一阶连续导数,且f(x)>0,又函数z(x,y)=ftx+qy)]满 足方程y)ax az az 0,求qy).[=Ce (10分)计算1=,1 1+kcos;dx,k为非零常数 tan [当|对>1时, 当0<|对<1时, 2= a rotan(小t kanx)+c:当k=±1时,=±csex±cotx+c, (10分)设xm1=(3xn+)(n=0,1,2,…),其中x。>0. (1)证明xn≥3(n=1,2,…) (2)证明数列{xn}收敛,并求1mxn,[=3 五、(10分)求幂级数∑一 9+×°+/”的收敛域与和函数 (1,1)=|1-x+x1(1x,0<|x<1 六(10分)计算曲面积分「(1·x)dydz+y(8x+1)dzdx4 xzdx dy.其中S是由弧段 (1<x≤3)绕x轴旋转一周的旋转曲面S的法向量与ax轴的夹角大于工[= 34T 七、(10分)设曲线C为曲面x2+y2+z2=a2与曲面x2+y2=ax(z>0,a>0)的交线,从ax轴 的正向看过去为逆时针方向 (1)写出曲线C的参数方程:Cx22y2sm2=asm2,t从0变到2 (2)计算曲线积分yax+zdy+xda.[=,n 出。设墙壁对子弹运动的阻力与速度平方成正比,求子弹穿过墙壁的时间.[=40b(5 八、(10分)子弹以速度v=400m/s垂直打进厚为20cm的墙壁,穿透后以100m/s的速度 3竞赛之窗 陕西省第四次大学生高等数学竞赛 k复赛l试题k附答案l usst 年 ts 月 tv 日 上午 |Β ss) tuΒ ss 一!kts 分l求 §ν §ξ νk ξ v ξ u p tlÞ ξ s kν tl≈ so当 ν 为偶数 p νdo当 ν 为奇数 二! kts 分l设函数 Υkξ l!φ kξ l有一阶连续导数o且 φ χkξ l so又函数 ζkξ oψl φ ≈ξ n Υkψl 满 足方程 Υkψl5ζ 5ξ p 5ζ 5ψ so求 Υkψlq≈ Χεψ 三!kts 分l计算 Ι Θ t t n ꦲ¶ξ §ξ oκ 为非零常数q ≈当 Þ κÞ t 时oΙ t κ p t κ p t κ n t¯± κ n t κ p t n ·¤± ξ u κ n t κ p t p ·¤± ξ u n Χ~ 当 s Þ κÞ t 时oΙ u t p κu ¤µ¦·¤±k t p κ t n κ·¤± ξ u l n Χ~当 κ ? t 时oΙ ? ¦¶¦ξ ? ¦²·ξ n Χo 四!kts 分l设 ξ νn t t w kvξ νn {t ξ v ν lkν sotouo, lo其中 ξ s s1 ktl证明 ξ ν∴ vkν touo, l1 kul证明数列¾ξ νÀ收敛o并求¯¬°νψ ] ξ ν 1≈ v 五!kts 分l求幂级数6 ] ν s ν νn tξ ν 的收敛域与和函数∀ ≈kp totl t tp ξ n t ξ ¯±ktp ξ los Þ ξ Þ t so ξ s 六!kts 分l计算曲面积分 κ Σ ukt p ξ u l§ψ§ζ n ψk{ξ n tl§ζ§ξ p wξ ζ§ξ §ψq其中 Σ 是由弧段 ζ ξ p t ψ s kt [ ξ [ vl 绕 ξ 轴旋转一周的旋转曲面oΣ 的法向量 ν ο 与 οξ 轴的夹角大于 Π u q≈ vwΠ 七!kts 分l设曲线 Χ 为曲面 ξ u n ψu n ζu αu 与曲面 ξ u n ψu αξ kζ∴ soα sl的交线o从 οξ 轴 的正向看过去为逆时针方向∀ ktl写出曲线 Χ 的参数方程~≈Χ}ξ α u n α u ¦²¶τoψ α u ¶¬±τoζ ᶬ± τ u oτ从 s 变到 uΠ kul计算曲线积分Θ Χ ψu §ξ n ζu §ψ n ξ u §ζq≈ p Π w αv 八!kts 分l子弹以速度 Μs wss° Ù¶垂直打进厚为 us¦° 的墙壁o穿透后以 tss° Ù¶的速度飞 出∀ 设墙壁对子弹运动的阻力与速度平方成正比o求子弹穿过墙壁的时间∀ ≈ v wsss¯±uk¶l wv ∂ ²¯1wo ²1w ⁄¨¦qo usst 高等数学研究 ≥× ⁄∞≥ ≤ ∞ ∞ × ∞ × ≤ ≥