例:a1+6a-+12a12+8a=0 特征方程:a3+6a2+12a+8=0→(a+2)3=0a=2是三重根 故a=(A2+Ar+A)(-2)是给定方程的一个齐次解。 二)特解的求法 寻求特解,没有一般的方法。然而,在一些简单的情况下,用观察的方法可以得到特 解,下面讨论两种常见形式。 1.当差分方程的右端属于r形式时,那么对应的特解属于下述形式: …+p,r+ t+1 其中pp2pp+1是待定常数 例:用此法可得a+5a+632=3r2的一个特解为a1=x2+nr+15 4288 2.当差分方程的右端属于阝形式时,若β不是差分方程的特征根,则对应的特解是pB形 式;若β是m重根(m>=1),则对应的特解是如下形式 例:用此法可得a+5a1+6a2=42×4的一个特解为a=16×4=4+2 (三)通解的求法 假定差分方程的特征根是不同的,那么通解的形式为 =A1∝1+A a2+…+Aak+p(r)其中p(r)是一特解,A1,A2,…,Ak为任意常数。 有m重根时的通解可类似写出,只是相应项的系数不是常数,而是关于r的一个m1 次多项式 (四)满足边界条件的特解的求法 将k个边界条件代入通解,得到关于待定系数A1,A2,…,Ak的k阶线性方程组,从 中解出待定常数,代回通解所得的特解即为原差分方程满足边界条件的解。 例:an=A1(-2)2+A2(-3)+16×4是方程a+5a-+6a12=42×4的通解,假定边界条 件为a2=278,a3=962,则解方程组 278=4A1+9A2+256 962=-8A1-27A2+1024我们得到A=1A2=2因此 差分方程满足边界条件的特解是:a1=(-2)+2(-3)+16×4例：ar＋6ar-1＋12ar-2＋8ar-3=0 特征方程：a 3＋6 a 2＋12 a ＋8＝0 Þ (a ＋2)3＝0 a ＝-2 是三重根， 故 ar=(A1r 2 +A2r+A3)(-2)r是给定方程的一个齐次解。 （二）特解的求法 寻求特解，没有一般的方法。然而，在一些简单的情况下，用观察的方法可以得到特 解，下面讨论两种常见形式。 1. 当差分方程的右端属于 r t形式时，那么对应的特解属于下述形式： t t 1 t 1 2 t r 1 a p r p r p r p + - = + +L+ + 其中 p1,p2,...,pt ,pt+1是待定常数。 例：用此法可得 ar+5ar-1+6ar-2=3r2的一个特解为 288 115 r 24 17 r 4 1 a 2 r = + + 2. 当差分方程的右端属于 r b 形式时，若b 不是差分方程的特征根，则对应的特解是 r pb 形 式；若b 是 m 重根(m>=1)，则对应的特解是如下形式： ar=(p0r m +p1r m-1+p2r m-2+...+pm) r b 例：用此法可得 ar+5ar-1+6ar-2=42× r 4 的一个特解为 r r 2 r a 16 4 4 + = ´ = （三）通解的求法 假定差分方程的特征根是不同的，那么通解的形式为 a A A A p(r) r k k r 2 2 r r = 1a1 + a +L+ a + 其中 p(r)是一特解, 1 2 Ak A , A ,L, 为任意常数。 有 m 重根时的通解可类似写出，只是相应项的系数不是常数，而是关于 r 的一个 m-1 次多项式。 （四）满足边界条件的特解的求法 将 k 个边界条件代入通解，得到关于待定系数 1 2 Ak A , A ,L, 的 k 阶线性方程组，从 中解出待定常数，代回通解所得的特解即为原差分方程满足边界条件的解。 例： r r 2 r r 1 a = A (-2) + A (-3) +16´ 4 是方程 ar+5ar-1+6ar-2=42× r 4 的通解，假定边界条 件为 a 278, a 962 2 = 3 = ，则解方程组 î í ì = - - + = + + 962 8A 27A 1024 278 4A 9A 256 1 2 1 2 我们得到 A1=1,A2=2,因此, 差分方程满足边界条件的特解是： r r r r a = (-2) + 2(-3) +16´4