Ay az_r O Ou Oww OvI-yrOw,aw au av ax 2 au ax ax ax ay2 ax 4 au2 an 2waa2 y au av、a2wav -e-' 182a2w 故 Ox andy ax 2 au dudy a2w a21 例5设F(x+2,y+2)=0,求d2,x,,y° 证方程F(x+z,y+-)=0确定了函数(x,y),在方程两边求微分,得 (ax+d)F+(dy+d)F2=0 止=(Fdx+F2dhy) F1+F2 两边再求微分,得Fd2z+[ax+a)F1+(d+d)F2kax+d) F2d=+[dx+d=F21+dy+d)F22Idy+d)=0 解得d [F1dx2+F2dy2+(F1+2F12+F2)d +2Fi2dxdy+ 2[(F2+F22)dy+(Fu+ F2udxJd F2,dy-+(Fl+2F, (F1ax+F2)2 F1+F2 (F1+F2)2 77 即                       y y x v y x u w z 则 [ ] 2 1 [ ] v w u w e x v v w x u u w e x z y y   +   =     +     =   − − [ ( ) ] 2 1 2 2 2 2 2 2 2 x v v w x v x u u v w x u u w e x z y     +   +      +     =   − [ 2 ] 4 1 2 2 2 2 2 v w u v w u w e y   +    +   = − [ ( ) ] 2 1 2 2 2 2 2 2 y v v w y v y u u v w y u u w e x y z y     +   +      +     =    − [ ] 2 1 v w u w e y   +   − − [ ] 4 1 2 2 2 2 v w u w e y   −   = − [ ] 2 1 v w u w e y   +   − − 故 =   +    +   x z x y z x z 2 2 2 z u v w u w e y =    +  −  [ ] 2 1 2 2 2 即 w u v w u w 2 2 2 2 =    +   例 5 设 F(x + z, y + z) = 0 ，求 xx xy yy d z,z ,z ,z 2 。 证 方程 F(x + z, y + z) = 0 确定了函数 z(x, y) ，在方程两边求微分，得 (dx + dz)F1 + (dy + dz)F2 = 0  ( ) 1 1 2 1 2 F dx F dy F F dz + + − = 两边再求微分，得 F d z + 2 1 [( ) ( ) ]( ) dx + dz F11 + dy + dz F12 dx + dz + F d z + 2 2 [(dx + dz)F21 + (dy + dz)F22 ](dy + dz) = 0 解得 2 11 12 22 2 22 2 11 1 2 2 [ ( 2 ) 1 F dx F dy F F F dz F F d z + + + + + − = 2F dxdy 2[(F F )dy (F F )dx]dz + 12 + 12 + 22 + 11 + 21 [ ( 2 ) 1 11 12 22 2 22 2 11 1 2 F dx F dy F F F F F + + + + + − = 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) F F F dx F dy + +