84 潮南大学学报（自然科学版） 2011年 一种直接的抽样方法是根据各个参数的满条件后验 差的协方差阵，则模型(5)的卡尔曼滤波为： 分布，逐次完成抽样更新过程，再利用蒙特卡洛积分 (M=E(M), 方法分析参数联合后验分布的矩属性1]，即为单步 Vi E(MM)-E(M 1T), Gibbs抽样方法.然而由于SV模型的波动变量之 g=鼎1+M,-(绵1十x)o绵1+y/品+1D, 间具有较强的序列相关性，因此Markov链收敛速 M+=(…), 度较慢，估计效率较低.利用卡尔曼滤波框架下的向 +w=i+10+(h,-1®)(o鼎.1+)/(+1). 前滤波和向后抽样技术，能够对潜在波动向量进行 (6) 联合抽取，从而大大提高估计效率.对于LMSV模 模型的对数似然函数表达式为： 型，观测方程的扰动项仙，并不服从正态分布，因此 不能进行联合抽样.为解决这一问题，本文利用混合 logk=-受1og2x- 正态近似方法来通近仙，的分布.下面在给出具体抽 {容：+D+a} (7) 样算法前，首先证明对于无限维状态空间模型(5)， 其确切似然函数只依赖于其前n个状态变量，n为 其中，=GM,=10. 向量h的时间维度. 若假设取M1中的前n个变量组成向量M,=E 假设V,=(c)代表时刻t状态M,的估计误 (M,M,…MD)T,此时的卡尔曼滤波为 1=(a)-1,2.=(E(MM9)-E(M9)-12,- 1)= ∫绵*1+，-(G蝌.1+1)(G+入)/(9+1)i,j≤n-1, ad/(+1)i=n或j=n: (8) M+1=(M+D,M,,+)T: MS+i)= M蝌+(h,-M0)(绵.：+λ)/(a+1)i≤n-1: l(h,-M)λ./(G+1)i=n 此时对数似然函数可表示为： h,=(o,1,…c)M log 1.-2log 2- 1M1=e0M+(1,0,…,0)re: (10) {宫aoga++会} (9) 其中：M,=(M1,M2,…,M.c1)r,Ic为C阶单 其中：=GM,=1w,由此可见，协方差矩阵7即 位矩阵，C为截尾阶数，其经验值在10~20之间. 为V1的前n行n列元素所组成的子矩阵，则鼎= 观测方程(4)误差项的差分也可以转化为状态 11.对比式(6)和式(8)可以得到，t时刻的协方差 空间形式： 矩阵7，等同于V,的前n一t+1行n一t+1列元素 △w:=X,十s (11) 组成的子矩阵，而M,的前n一t十1行n一t十1列元 X+1=一 素与M,相同，保证了=10=10=五.此外，由 注意到△y,=h,+w:,将状态空间模型(10) 对数似然函数的表达式容易看出log1n=log1,·由 和(11)进行合并，得到： 此可见，无限维状态空间模型的确切似然函数只依 △y.=(1,0,1,…c)Z+w 赖于状态向量中的前”个变量，因此在计算过程中 00 Z1= o Q Z,十（-仙e+10…0)T. 可以只考虑前n个状态变量.进一步，由于利用差分 截尾方法可以对移动平均状态空间模型产生较好的 (12) 近似，因此可采用差分截尾方法进行近似计算·首 0 其中，Q= 0 Z=(X MI)T. 先对波动序列(h)进行一阶差分得到序列(M), Ic 0 得到波动差分序列的状态空间表达式： 而模型初始状态变量的定义为： 万方数据湖南大学学报(自然科学版) 2011每 一种直接的抽样方法是根据各个参数的满条件后验 分布，逐次完成抽样更新过程，再利用蒙特卡洛积分 方法分析参数联合后验分布的矩属性[1们，即为单步 Gibbs抽样方法．然而由于SV模型的波动变量之 间具有较强的序列相关性，因此Markov链收敛速 度较慢，估计效率较低．利用卡尔曼滤波框架下的向 前滤波和向后抽样技术，能够对潜在波动向量进行 联合抽取，从而大大提高估计效率．对于LMSV模 型，观测方程的扰动项蛳并不服从正态分布，因此 不能进行联合抽样．为解决这一问题，本文利用混合 正态近似方法来逼近cc，。的分布．下面在给出具体抽 样算法前，首先证明对于无限维状态空间模型(5)， 其确切似然函数只依赖于其前挖个状态变量，，l为 向量h的时间维度． 假设Ⅵ=(∥)代表时刻t状态M，的估计误 差的协方差阵，则模型(5)的卡尔曼滤波为： 似=以晒)， lⅥ=E(M孵)一E(磁1T)， ．{∥’=龆．i+1+|：IAj一(掮．。+丸)(档．·+≈)／(击P+1)， I矾I=('’．··)T， 【f(州)=f+1_co+(屯一1(o)(貔，l+九)／(蠢{I+1)． (6) 模型的对数似然函数表达式为： log z-=一罢log 27c一 丢{室1 mg _、f— ca{{’Ⅷ+箫11箬，)．∽ u 上 ， 其中ji，=CA／／，=1(1)． 若假设取髓。中的前，1个变量组成向量新。=E (M{"，膨”，…M：”)丁，此时的卡尔曼滤波为 讧一(厅5l’)埘。1．2．．、。=(E(M：1’Mjl’)一E(硒1’M—sm))¨．1．2．…．．， ；(m)一户翁．卅+AAj一(厅翁．1+．：It)(群-。l+．；I，)／(孑ifI+1) f，歹≤行一1I 哪 I^矾’尹-1(t1)八II口-1(t1)+1)f=咒或歹一竹； 甄+。=(硒州)，j时1，…，硒m’)r， …‘礤升，)；．『砑翁+(k一蕊。)(厅翁。t+天·)／(方柠+1)i≤豫一1； I(k一翮o)A。／(蟊fI+1)f=‰ 此时对数似然函数可表示为： log厶=一詈log 2丌一 号{骞mgⅢ∽+D+祭等，)．㈨ 其中：元；=G砑。=1(1)．由此可见，协方差矩阵钆即 为V。的前竹行，l列元素所组成的子矩阵，则盯i{'= 11∽．对比式(6)和式(8)可以得到，t时刻的协方差 矩阵K等同于Ⅵ的前，l—t+1行以一t+1列元素 组成的子矩阵，而M：的前，l一￡+1行以一￡+1列元 素与磁相同，保证了左，=1(D一1(o=五。．此外，由 对数似然函数的表达式容易看出log Z。=log厶．由 此可见，无限维状态空间模型的确切似然函数只依 赖于状态向量中的前行个变量，因此在计算过程中 可以只考虑前”个状态变量．进一步，由于利用差分 截尾方法可以对移动平均状态空间模型产生较好的 近似，因此可采用差分截尾方法进行近似计算．首 先对波动序列(虬)进行一阶差分得到序列(肚，)， 得到波动差分序列的状态空间表达式： (8) I龇t 2(知’A1’．“Ac)Mr， ．i‰z一(■M铷，o，…mT岛．n∞ 其中：M=(M．1’iV／,，2’…，M．DH)f，Ic为C阶单 位矩阵，C为截尾阶数，其经验值在10"--20之间． 观测方程(4)误差项的差分也可以转化为状态 空间形式： 』锄一；五十她’ ‘ (11) I l I J 【X件1 2一∞I· 注意到旬。=△^，+血，，将状态空间模型(10) 和(11)进行合并，得到： f却t=(1，k，jLl，…Ac)五十∞t， 1z斗。=[：三]z。+c一触￡件t 。 … 。，T． (12) 其中，Q=[芝：]，z—c五M丁，T． 而模型初始状态变量的定义为： 万方数据